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Radicais-Raízes de índice n. |
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Nota: Este assunto é a continuação dos radicais dados no Ensino Básico. Antes de prosseguir, pode ser útil consultar: |
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Noção de: Raiz índice n de a. Se Dado um número real a e um número natural n ímpar, existe um único número real b tal que bn=a. Dado um número real não negativo a e um número natural n par, existe um único número real não negativo b tal que bn=a. |
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Exemplo1) Como 52=25, então A raiz quadrada de 25 é 5. mas... (-5)2=25 e temos não dá -5, pois na raiz de índice par dá |-5|=5, nunca dá negativo. | Exemplo2) 43=64, logo A raiz cúbica de 64 é 4. e também... (-4)3= - 64, logo pois na raiz de índice ímpar, pode dar negativo. | Exemplo3)
A raiz quarta de 625 é 5. | Exemplo4)
A raiz quinta de 243 é 3. |
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Comentários: Atenção!! Não faz sentido raiz índice par para números negativos. Por exemplo Não faz sentido:
Mas se o índice for ímpar, não há problema, por exemplo:
faz sentido!... |
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Regra: Radical equivalente- Mudar o índice.
onde n, p e k são números naturais, n>1 e a>0 |
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Exemplo1) Se tivermos a raiz cúbica Fazemos
Como
então
| Exemplo2) Queremos reduzir dois radicais ao mesmo índice:
Vamos reduzir ambos ao índice 20, começando por
Agora, passemos a
| Exemplo3) Vamos simplificar o índice de Como 24=16, podemos escrever:
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Comentários: Esta regra permite mudar o índice de uma raiz, passando para outra equivalente. Isto aplica-se muitas vezes, sobretudo para simplificar algumas expressões, ou para comparar duas raízes com índices diferentes. |
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Regra: Multiplicação de radicais.
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Exemplo1)
| Exemplo2)
| Exemplo3)
| Exemplo4) |
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Comentários: Esta regra não se aplica para radicais com índices diferentes. Por exemplo,
Seria necessário reduzir primeiro ao mesmo índice…
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Regra:Potência de um radical.
Com n e p naturais. |
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Exemplo1)
| Exemplo2) | Exemplo3) Também é válida para expoente negativo:
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Comentários: Comentário 1 Para compreender esta regra, basta analisar o exemplo 1. Como:
Aplicamos a regra da multiplicação de radicais e obtemos: Comentário 2 Se tivermos uma raiz de índice par, o a tem de ser maior ou igual a zero. Por exemplo, não faz sentido raiz quarta de "-16". Se o índice for ímpar, não há problema. |
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Regra: Divisão de radicais.
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Exemplo1)
| Exemplo2)
| Exemplo3)
| Exemplo4) |
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Comentários: Nota: Nesta fórmula:
subentendemos que n é um número natural maior que 1 e que a e b dão sentido à expressão. Por exemplo, b é diferente de zero por estar no denominador e, caso n seja um número par, a e b são não negativos. Por exemplo, no conjunto dos números reais não faz sentido:
mas
faz sentido. |
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Regra: Radical de radical.
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Exemplo1)
| Exemplo2) | Exemplo3) |
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Comentários: Nota: n e p são números naturais maiores que 1. Admitimos ainda que, se n ou p for par, a não pode ser negativo. Por exemplo, no conjunto dos números reais não faz sentido
mas faz sentido
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Regra: Radical "corta" com o expoente...
se n é par, o resultado não pode ser negativo.
Se n é ímpar, pode dar positivo ou negativo ou zero... |
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Exemplo1)
| Exemplo2) | Exemplo3)
| Exemplo4)
| Exemplo5)
| Exemplo6)
| Exemplo7)
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Comentários: Atenção ao módulo |a|, quando se trata de uma raiz de índice par. Por exemplo,
Se o índice for ímpar, não é necessário o módulo Exemplo:
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Simplificações: Passar para fora da raiz. |
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Exemplo1) Simplificar: Como se trata de uma raiz quadrada, procuramos decompor o número de modo que um dos fatores seja um quadrado perfeito. Neste caso, o 36. Depois decompomos em duas raízes quadradas, uma das quais dará um valor exato.
| Exemplo2) Simplificar:
Como 16=8×2 e 8=23,
| Exemplo3) Simplificar: Como 27=33,
| Exemplo4) Simplificar: Tenhamos em conta que 24=16. Assim,
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Comentários: Nestas simplificações, devemos procurar sempre um fator que seja raiz exata. É bom conhecer de cor alguns dos exemplos mais utilizados tais como: 22=4 23=8 24=16 25=32 32=9 33=27 42=16 43=64 52=25 53=125 etc... que nos ajudam a decompor os números. |
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Regra: Racionalização do denominador. O Objetivo é transformar uma dada fração numa outra que seja equivalente, mas onde o denominador seja um número racional. |
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Exemplo1) Para começar, comecemos por recapitular o que é um número racional. O número 0.2 é racional porque pode ser expresso como quociente de dois números inteiros. Por exemplo, 0.2=1/5. Outro exemplo de número racional.
Mas há muitos números que não são racionais. Alguns exemplos: | Exemplo2)
tem denominador irracional. Para racionalizar, basta multiplicar o numerador e o denominador por
isto é,
Repare que, apesar de ainda existir algo irracional no numerador, o denominador agora é 3, que é um número racional. | Exemplo3) tem denominador irracional. Para racionalizar, basta multiplicar o numerador e o denominador por
(*)porquê?-leia o comentário abaixo, isto é,
no denominador, aplicamos a "diferença de quadrados" (Recapitular: Diferença de quadrados>>)
O denominador já está racionalizado, pois "3-2=1", que é racional.
simplificando:
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Comentário:(*) Quando fazemos: que é igual a estamos a aplicar a regra dada no terceiro ciclo (Recapitular: Diferença de quadrados>>) "Diferença de quadrados": (a-b)(a+b)=a2-b2 e neste contexto, esta regra dá muito jeito, pois permite simplificar a expressão, "eliminando" as raizes. Também dizemos que é o conjugado de Outro exemplo de conjugado: O conjugado de é Repare que, aplicando a multiplicação, o resultado fica racional:
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