POLINÓMIOS

Regra: Distributividade.       

Exemplo)

Comentários: 

Multiplicamos o número fora do parênteses por cada um dos elementos  do interior.

Repare que no exemplo,

2×x²=2x²

e que

2×3x=6x

Regra: Simétrico da soma/simétrico da diferença.

Exemplo1)

Exemplo 2)

Comentários: 

Mudamos o sinal em ambos, pois o sinal de menos equivale a aplicar a propriedade distributiva, multiplicando tudo por “-1”

Regra: Distributiva.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Exemplo 

Comentários: 

Repare que temos que multiplicar "todos por todos", como indicado nas setas abaixo.

No exemplo:

Enquanto não ganha prática, pode ser importante indicar as setas para não se enganar.

Caso notável da multiplicação: Quadrado da soma

(a+b)²=a²+2ab+b²

Exemplo  

(x+3)²=x²+2×x×3+3²= x²+2×3x+3²= x²+6x+9

Comentários: 

1) Para memorizar a fórmula:

"O quadrado da soma é o quadrado do primeiro, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo"

2) Para compreender a fórmula:

como (a+b)²=(a+b)(a+b),

basta aplicarmos a distributividade à multiplicação

(a+b)(a+b) e simplificarmos, isto é,

(a+b)(a+b)=a×a+ a×b+ b×a+ b×b=

=a×a+ a×b+ a×b+ b×b

=a²+2ab+b².

Caso notável da multiplicação: Quadrado da diferença

(a-b)²=a²-2ab+b²

Exemplo  

(x-3)² = x²-2×x×3+3²= x²-2×3x+3²= x²-6x+9

Comentários: 

1) Para fixar a fórmula:

"o quadrado da diferença é o quadrado do primeiro, menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo"

2) Para compreender a fórmula:

como (a-b)²=(a-b)(a-b),

basta aplicarmos a distributividade à multiplicação

(a-b)(a-b) e simplificarmos, isto é,

(a-b)(a-b)=a×a- a×b- b×a+ b×b=

=a×a - a×b - a×b+ b×b

=a²-2ab+b².

Caso notável da multiplicação: Diferença de quadrados

(a+b)(a-b)=a²-b²

Exemplo  

(x+6)(x - 6)=x²-36

Comentários: 

1) Para fixar a fórmula:

"A diferença de quadrados é igual ao produto da soma pela diferença."

2) Para compreender a fórmula:

basta aplicarmos a distributividade

(a+b)(a-b) e simplificarmos, isto é,

(a+b)(a-b)=a×a- a×b+ b×a- b×b=

=a×a- a×b + a×b - b×b

=a²- b².

Regra: Transformação de um polinómio do tipo

ax²+bx+c

para a forma:

a(x-d)²+e 

Exemplo1) 

Vamos colocar x²+6x+9 na forma a(x-d)²+e 

Primeiro averiguamos se este é um caso notável da multiplicação.

De facto, x²+6x+9=(x+3)²

ou seja,

x²+6x+9=(x+3)²+0

Já está na forma pretendida.

Exemplo2) 

Vamos colocar x²+8x+7 na forma a(x-d)²+e 

Primeiro averiguamos se este é um caso notável da multiplicação.

Como não é, vamos perfazer o caso notável que melhor se ajusta,

do tipo “quadrado de uma soma”.

x²+8x+7=x²+2×4x+7=...

Seria desejável termos o "16", para perfazermos o caso notável,

para tal, vamos somar e subtrair o 16

=x²+2×4x+16-16+7=

colocando o caso notável no parênteses: 

=(x²+2×4x+16)-16+7

= (x+4)²-9.

Obtivemos:

 x²+8x+7= (x+4)²-9.

Exemplo 3) 

Vamos colocar 3x²- 4x+2   na forma a(x-d)²+e 

Nos termos com x, colocamos o 3 em evidência:

No interior do parênteses, vamos perfazer o caso notável. 

Encontramos o valor B da fórmula,

fazendo metade do termo de grau1.
 

Reparemos que metade de 4/3 é 2/3:

Calculemos o B²

Continuando

Somamos e subtraímos dentro do parênteses o 4/9

Passamos o 4/9 para fora, mas temos que multiplicar por 3:

Obtemos o caso notável pretendido 

e ainda falta acertar os restantes cálculos

Obtivemos:

Comentários: 

Quando escrevemos um polinómio do tipo ax²+bx+c na forma a(x-d)²+e, isso irá facilitar a representação gráfica da função f(x)= ax²+bx+c, como será visto na devida altura.