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POLINÓMIOS |
Regra: Distributividade.
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Exemplo)
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Comentários:
Multiplicamos o número fora do parênteses por cada um dos elementos do interior. Repare que no exemplo, 2×x2=2x2 e que 2×3x=6x |
Regra: Simétrico da soma/simétrico da diferença.
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Exemplo1)
Exemplo 2)
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Comentários: Mudamos o sinal em ambos, pois o sinal de menos equivale a aplicar a propriedade distributiva, multiplicando tudo por “-1” |
Regra: Distributiva. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd |
Exemplo
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Comentários: Repare que temos que multiplicar "todos por todos", como indicado nas setas abaixo.
No exemplo:
Enquanto não ganha prática, pode ser importante indicar as setas para não se enganar. |
Caso notável da multiplicação: Quadrado da soma (a+b)2=a2+2ab+b2 |
Exemplo (x+3)2=x2+2×x×3+32= x2+2×3x+32= x2+6x+9 |
Comentários: 1) Para memorizar a fórmula: "O quadrado da soma é o quadrado do primeiro, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo" 2) Para compreender a fórmula: como (a+b)2=(a+b)(a+b), basta aplicarmos a distributividade à multiplicação (a+b)(a+b) e simplificarmos, isto é, (a+b)(a+b)=a×a+ a×b+ b×a+ b×b= =a×a+ a×b+ a×b+ b×b =a2+2ab+b2. |
Caso notável da multiplicação: Quadrado da diferença (a-b)2=a2-2ab+b2 |
Exemplo (x-3)2 = x2-2×x×3+32= x2-2×3x+32= x2-6x+9 |
Comentários: 1) Para fixar a fórmula: "o quadrado da diferença é o quadrado do primeiro, menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo" 2) Para compreender a fórmula: como (a-b)2=(a-b)(a-b), basta aplicarmos a distributividade à multiplicação (a-b)(a-b) e simplificarmos, isto é, (a-b)(a-b)=a×a- a×b- b×a+ b×b= =a×a - a×b - a×b+ b×b =a2-2ab+b2. |
Caso notável da multiplicação: Diferença de quadrados (a+b)(a-b)=a2-b2 |
Exemplo (x+6)(x - 6)=x2-36 |
Comentários: 1) Para fixar a fórmula: "A diferença de quadrados é igual ao produto da soma pela diferença." 2) Para compreender a fórmula: basta aplicarmos a distributividade (a+b)(a-b) e simplificarmos, isto é, (a+b)(a-b)=a×a- a×b+ b×a- b×b= =a×a- =a2- b2. |
Regra: Transformação de um polinómio do tipo ax2+bx+c para a forma: a(x-d)2+e |
Exemplo1) Vamos colocar x2+6x+9 na forma a(x-d)2+e Primeiro averiguamos se este é um caso notável da multiplicação. De facto, x2+6x+9=(x+3)2 ou seja, x2+6x+9=(x+3)2+0 Já está na forma pretendida. |
Exemplo2) Vamos colocar x2+8x+7 na forma a(x-d)2+e Primeiro averiguamos se este é um caso notável da multiplicação. Como não é, vamos perfazer o caso notável que melhor se ajusta, do tipo “quadrado de uma soma”. x2+8x+7=x2+2×4x+7=... Seria desejável termos o "16", para perfazermos o caso notável, para tal, vamos somar e subtrair o 16 =x2+2×4x+16-16+7= colocando o caso notável no parênteses: =(x2+2×4x+16)-16+7 = (x+4)2-9. Obtivemos: x2+8x+7= (x+4)2-9. |
Exemplo 3) Vamos colocar 3x2- 4x+2 na forma a(x-d)2+e
Nos termos com x, colocamos o 3 em evidência:
No interior do parênteses, vamos perfazer o caso notável. Encontramos o valor B da fórmula, fazendo metade do termo de grau1. Reparemos que metade de 4/3 é 2/3:
Calculemos o B2
Continuando
Somamos e subtraímos dentro do parênteses o 4/9
Passamos o 4/9 para fora, mas temos que multiplicar por 3:
Obtemos o caso notável pretendido
e ainda falta acertar os restantes cálculos
Obtivemos:
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Comentários: Quando escrevemos um polinómio do tipo ax2+bx+c na forma a(x-d)2+e, isso irá facilitar a representação gráfica da função f(x)= ax2+bx+c, como será visto na devida altura. |