Geometria 10º ano.Parte 1.

Geometria analítica no plano.

Noção: Coordenadas de um ponto no plano.

Num referencial ortonormado Oxy do plano, um ponto A é dado por duas coordenadas A(a₁, a₂),

onde a₁ é a abcissa e a₂ é a ordenada.

Exemplo) 

 O ponto A(6,4) tem abcissa 6 e ordenada 4.

Noção: Distância entre dois pontos.

Dados dois pontos , a distância entre A e B é dada por:

Exemplo1) 

Consideremos os pontos ,

a distância entre A e B é dada por:

Exemplo2) 

Distância entre os pontos: A(1,1)   e B(4,2)

Comentários: 

Como podemos constatar no exemplo 2, a distância entre os pontos A(1,1) e B(4,2), equivale à aplicação do Teorema de Pitágoras.

Construindo o triângulo retângulo, onde a distância pretendida é a hipotenusa (h) do triângulo:

Reparemos que, segundo o Teorema de Pitágoras, 3²+1²=h².

Que equivale a 10 = h², ou seja,

Sugestão: se não se recorda do Teorema de Pitágoras, consulte:

T.Pitágoras>>

Noção: Ponto médio (M) de um segmento.

A      M      B

Dado um segmento [AB], o ponto médio M pertence ao segmento [AB] e está à mesma distância dos pontos A e B.

Sejam  então 

“Somamos as coordenadas respetivas e dividimos por dois”

Exemplo1) 

 Consideremos os pontos A(1,1) e B(4,6)  na figura:

O ponto médio será

Como podemos ver, o ponto médio, M pertence ao segmento [AB] e está à mesma distância dos pontos A e B.

Exemplo2)

Consideremos os pontos A(2,3) e B( 6,9)

As coordenadas do ponto médio do segmento [A, B]  serão:

Comentários: 

Reparemos que, para ser ponto médio, não basta estar à mesma distância dos dois pontos, é necessário estar no segmento. Por exemplo, na figura:

O ponto K pode estar à mesma distância dos pontos A e B, mas não é o ponto médio.

Noção: Mediatriz de um segmento de reta.

Consideremos todos os pontos do plano que estão à mesma distância dos pontos A e B. Estes formam uma reta (a azul). Esta reta chama-se Mediatriz do segmento [AB]

Dado um ponto qualquer P(x,y) da reta Mediatriz, então d(P,A)=d(P,B)

Para obter a equação da reta Mediatriz, igualamos as distâncias, isto é, para, P(x,y) e  

Temos d(P,A)=d(P,B) corresponde a

Elevando ambos os membros ao quadrado, equivale a:

Exemplo1) 

Consideremos o segmento de reta [A,B] onde A(1,1) e B(3,5).

Sabemos que, qualquer ponto P(x,y) da reta mediatriz  tem igual distância ao ponto A e a ponto B, logo,

isto é,

Usando a fórmula da distância:

Elevando ao quadrado:

Desenvolvendo cada um dos quadrados:

Retirando os parêntesis:

“Cortando” os termos x² e y² de ambos os membros:

Simplificando e colocando os termos em x no primeiro membro e os termos em y no segundo membro:

Simplificando novamente:

Equivalente a

Dividindo tudo por -8, temos finalmente a equação da reta mediatriz:

Exemplo2)

Se tivermos dois pontos com a mesma ordenada, por exemplo A(1,1) e B(3,1), a reta mediatriz será vertical, como podemos ver, e terá equação x=2.

Nem foi necessário efetuar cálculos, por trata-se de uma situação obvia. Se os pontos tivessem a mesma abcissa, seria igualmente intuitivo.

Comentários: 

Comentário1:

No exemplo 1, seja C o ponto médio do segmento [AB]. Então C tem coordenadas C(2, 3).

A reta mediatriz é perpendicular ao segmento e passa no ponto médio, como podemos observar:

Comentário2:

No desenvolvimento dos quadrados tais como (x-1)², pode ser útil recapitular estas fórmulas:

“Quadrado da soma” >>

"Quadrado da diferença">>

Fórmula: Equação reduzida de uma circunferência

de raio r e centro C(c₁, c₂).

Seja P(x, y) um ponto qualquer da circunferência.

Exemplo1) 

 Consideremos uma circunferência de centro A(2,3) e de raio 4:

Como 4²=16, então, a equação da circunferência será:

 Se tivermos a equação:

trata-se da equação da circunferência de centro (-3, 5) e raio 3.

Repare bem que x+3=x-(-3) e que 9=3².

Se quisermos a equação da circunferência de centro (8, -7) e raio 5, a equação será:

Se tivermos a equação

,

para identificarmos o centro e o raio da circunferência, devemos começar por perfazer os casos notáveis e escrever:

Que equivale a

ou

Circunferência de centro (-3, -1) e raio 3.

Comentários: 

Sabemos que numa circunferência, todos os pontos estão à mesma distância do centro.

No Exemplo 1, a circunferência tem centro A(2,3) e raio 4:

Então, qualquer ponto P(x,y) pertencente à circunferência tem uma distância de 4 unidades em relação  ao centro A(2,3).

Deste modo, temos

ou 

que equivale a

Conjuntos de Pontos: Semiplanos.

Exemplo1) 

Seja C o conjunto dos pontos do plano cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa, somada com uma unidade, isto é,

y=2x+1.

Sabemos que o ponto (0, 1) verifica esta condição, pois 1=2×0+1.

 O ponto (1, 3) também o verifica, pois 3=2×1+1.

Muitos outros pontos verificam esta equação.

A totalidade dos pontos que verificam esta condição constitui uma

reta no plano: y=2x+1

Exemplo2)

Se tivéssemos a inequação y ≥ 2x+1, teríamos pontos que se situam acima da reta y=2x+1.

Se fosse y ≤ 2x+1, seria o semiplano abaixo da reta.

Exemplo3)

Consideremos a reta de equação y= 2x+3 cujo gráfico é:

Se tivermos y > 2x+3, temos o semiplano superior aberto:

Vejamos y ≤2x+3 temos o semiplano inferior fechado:

Exemplo4)

Seja a reta vertical x= 3 

Para x> 3, temos o semiplano aberto à direita:

Para x≤3, temos o semiplano fechado à esquerda:

Conjuntos de Pontos: Círculos.

Círculo de raio r e centro C(c₁, c₂).

Seja P(x, y) um ponto qualquer do círculo

Exemplo1) 

Sabemos que num círculo incluímos o interior:

E numa circunferência apenas consideramos a linha.

Se tivermos a equação

corresponde a uma circunferência de raio 4 e centro (2,3)

Mas se considerássemos:

,

os pontos seriam a parte interior da circunferência, incluindo a própria linha.

Se fosse

,

seria o exterior da circunferência

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