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Geometria 10º ano. Parte 2.

Vetores no plano.

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Noção de: Segmentos orientados equipolentes.

Dois segmentos são equipolentes quando têm a mesma direção, sentido e comprimento.

Exemplo) 

Segmentos equipolentes:        

   

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Noção de: Vetor

Um vetor fica caraterizado por uma direção, um sentido e um comprimento.

Exemplo) 

Vetor com um comprimento, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.

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Noção de: Norma de um vetor  

é a medida do seu comprimento e representa-se por

Exemplo) 

Na figura,

o vetor tem norma ou comprimento 2 

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Noção:Vetores colineares.

Dois vetores não nulos são colineares quando têm a mesma direção. O vetor nulo é colinear a qualquer vetor.

Os vetores

 da figura abaixo, são colineares 

e também se pode observar  que

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Noção: Vetores simétricos.

Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

Os vetores que se seguem são simétricos:

Comentário: 

Facilmente se percebe que dois vetores simétricos também são colineares.

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Noção de: Soma de um ponto com um vetor:

Exemplo) 

Dado o ponto A, 

A •

se somarmos o vetor 

 

Obtemos o ponto B

isto é, 

Comentários: 

Colocamos o ponto " A" na origem do vetor. O ponto "B" corresponde à extremidade.

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NoçãoSoma/diferença de dois vetores.

Exemplo) 

 

 

isto é, 

 

 Assim também podemos ter a diferença de vetores: 

 

Comentários: 

Regra prática: podemos colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor.

O vetor soma obtém-se ligando a origem do primeiro à extremidade do segundo:

...mas existem outros processos tais como a Regra do Paralelogramo:

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Noção:Multiplicação de um vetor por um número real.

Exemplo) 

Consideremos o vetor.

multiplicando por 3, obtemos um vetor com a mesma direção e sentido mas com o triplo do comprimento:

 

mas se multiplicarmos por -3, fica com o sentido contrário.

 

Comentários: 

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Algumas propriedades: das operações com vetores.

A soma de vetores é comutativa.

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O vetor nulo é apenas um ponto. A soma do vetor nulo com qualquer vetor dá o próprio vetor.

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A soma de um vetor com o seu simétrico dá o vetor nulo.

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a soma de vetores verifica a propriedade associativa

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A propriedade distributiva em relação à soma dos escalares: 

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Escalar para fora:

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Distributiva em relação à soma de vetores:

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Qualquer vetor a multiplicar pelo escalar 1, dá o próprio vetor.

Alguns Exemplos) 

Exemplo)

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Exemplo

 

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Exemplo

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Noção deCoordenadas de um vetor.

Consideramos um referencial cartesiano Oxy.

e escrevemos cada vetor em função dos vetores da

  

Exemplo1) 

Para passar de D para E, andamos duas unidades na horizontal e uma unidade na vertical:

então pode ser obtido como a soma:

 

Indicamos 

 

ou 

 

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Exemplo2) 

Vetor posição de um ponto.

Na figura, temos o ponto A de coordenadas (3,2).

O vetor que liga a origem O ao ponto A,

,

tem coordenadas (3,2), como se pode observar na figura.

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Aplicação: Operações com vetores nas coordenadas.

consideremos

Coordenadas da soma de dois vetores.

 

somamos as coordenadas respetivas.

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Coordenadas da diferença de dois vetores.

 

subtraímos as respetivas coordenadas.

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Coordenadas do produto de um escalar por um vetor.

 

multiplicamos o escalar por cada uma das coordenadas.

Exemplos) 

Consideremos os vetores de coordenadas:

   

Soma: 

 

|

Diferença:

 

|

Multiplicação por 4

.

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Simétrico ou multiplicação por -1.

 

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Aplicação: Vetores colineares.

se dois vetores 

são colineares, as suas coordenadas são proporcionais, isto é, então existe k tal que

Se as coordenadas forem todas não nulas, temos:

Exemplo1) 

são colineares, pois: 

ou 

que dá 3.

|

Exemplo2) 

são colineares, pois

que dá -4.

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Exemplo3) 

O vetor de coordenadas (0, 10) 

é colinear com o vetor de coordenadas ( 0, 2 ),

pois são ambos vetores verticais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. 

Justificamos: (0, 10)=5×(0, 2).

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Exemplo4) 

O vetor de coordenadas (8, 0) 

é colinear com o vetor de coordenadas ( 2, 0 ),

pois são ambos vetores horizontais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. 

Justificamos com  (8, 0)=4×(2, 0).

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Noção de: Vetor como diferença de dois pontos. 

Dados os pontos A(a1, a2) e B(b1,b2)

então:

Exemplo) 

 Sejam A(2,5) e B(3, 8), então:

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Noção de: Soma de um ponto com um vetor.

Dados um ponto e um vetor de coordenadas

 

respetivamente, então

As coordenadas da soma do ponto com os vetor são:

somamos as respetivas coordenadas.

A soma de um ponto com um vetor dá um ponto.

Exemplo) 

Sejam o ponto e o vetor 

então

a soma dá o ponto (7, 7).

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Noção de: Norma de um vetor

A partir das coordenadas.

se 

 

então:

Exemplo1) 

Consideremos o vetor

.

Usando a fórmula, a sua norma, (ou comprimento) é dado por:

 

Este pode ser visto como a distância desde a origem (0,0) ao ponto (2,6) e  também pode obter-se facilmente a partir do teorema de Pitágoras.

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Exemplo2) 

 

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