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Geometria 10º ano. Parte 2. Vetores no plano. |
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Noção de: Segmentos orientados equipolentes. Dois segmentos são equipolentes quando têm a mesma direção, sentido e comprimento. |
Exemplo) Segmentos equipolentes: → → |
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Noção de: Vetor Um vetor fica caraterizado por uma direção, um sentido e um comprimento. |
Exemplo) → Vetor com um comprimento, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. |
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Noção de: Norma de um vetor
é a medida do seu comprimento e representa-se por
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Exemplo) Na figura, o vetor tem norma ou comprimento 2 |
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Noção:Vetores colineares. Dois vetores não nulos são colineares quando têm a mesma direção. O vetor nulo é colinear a qualquer vetor. |
Os vetores
da figura abaixo, são colineares e também se pode observar que
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Noção: Vetores simétricos. Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. |
Os vetores que se seguem são simétricos:
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Comentário: Facilmente se percebe que dois vetores simétricos também são colineares. |
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Noção de: Soma de um ponto com um vetor: |
Exemplo) Dado o ponto A, A • se somarmos o vetor
Obtemos o ponto B isto é,
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Comentários: Colocamos o ponto " A" na origem do vetor. O ponto "B" corresponde à extremidade. |
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Noção: Soma/diferença de dois vetores. |
Exemplo)
isto é,
Assim também podemos ter a diferença de vetores:
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Comentários: Regra prática: podemos colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor. O vetor soma obtém-se ligando a origem do primeiro à extremidade do segundo: ...mas existem outros processos tais como a Regra do Paralelogramo: |
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Noção:Multiplicação de um vetor por um número real.
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Exemplo) Consideremos o vetor.
multiplicando por 3, obtemos um vetor com a mesma direção e sentido mas com o triplo do comprimento:
mas se multiplicarmos por -3, fica com o sentido contrário.
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Comentários:
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Algumas propriedades: das operações com vetores. A soma de vetores é comutativa.
| O vetor nulo é apenas um ponto. A soma do vetor nulo com qualquer vetor dá o próprio vetor.
| A soma de um vetor com o seu simétrico dá o vetor nulo.
| a soma de vetores verifica a propriedade associativa
| A propriedade distributiva em relação à soma dos escalares:
| Escalar para fora:
| Distributiva em relação à soma de vetores:
| Qualquer vetor a multiplicar pelo escalar 1, dá o próprio vetor.
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Alguns Exemplos) Exemplo)
| Exemplo
| Exemplo
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Noção de: Coordenadas de um vetor. Consideramos um referencial cartesiano Oxy. e escrevemos cada vetor em função dos vetores da
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Exemplo1)
Para passar de D para E, andamos duas unidades na horizontal e uma unidade na vertical: então pode ser obtido como a soma:
Indicamos
ou
| Exemplo2) Vetor posição de um ponto. Na figura, temos o ponto A de coordenadas (3,2).
O vetor que liga a origem O ao ponto A, , tem coordenadas (3,2), como se pode observar na figura. |
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Aplicação: Operações com vetores nas coordenadas. consideremos
Coordenadas da soma de dois vetores.
somamos as coordenadas respetivas. | Coordenadas da diferença de dois vetores.
subtraímos as respetivas coordenadas. | Coordenadas do produto de um escalar por um vetor.
multiplicamos o escalar por cada uma das coordenadas. |
Exemplos) Consideremos os vetores de coordenadas:
Soma:
| Diferença:
| Multiplicação por 4 . | Simétrico ou multiplicação por -1.
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Aplicação: Vetores colineares. se dois vetores
são colineares, as suas coordenadas são proporcionais, isto é, então existe k tal que
Se as coordenadas forem todas não nulas, temos:
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Exemplo1)
são colineares, pois:
ou
que dá 3. | Exemplo2)
são colineares, pois
que dá -4. | Exemplo3) O vetor de coordenadas (0, 10) é colinear com o vetor de coordenadas ( 0, 2 ), pois são ambos vetores verticais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. Justificamos: (0, 10)=5×(0, 2). | Exemplo4) O vetor de coordenadas (8, 0) é colinear com o vetor de coordenadas ( 2, 0 ), pois são ambos vetores horizontais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. Justificamos com (8, 0)=4×(2, 0). |
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Noção de: Vetor como diferença de dois pontos. Dados os pontos A(a1, a2) e B(b1,b2) então:
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Exemplo) Sejam A(2,5) e B(3, 8), então:
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Noção de: Soma de um ponto com um vetor. Dados um ponto e um vetor de coordenadas
respetivamente, então As coordenadas da soma do ponto com os vetor são:
somamos as respetivas coordenadas. A soma de um ponto com um vetor dá um ponto. |
Exemplo) Sejam o ponto e o vetor
então
a soma dá o ponto (7, 7). |
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Noção de: Norma de um vetor A partir das coordenadas. se
então:
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Exemplo1) Consideremos o vetor .
Usando a fórmula, a sua norma, (ou comprimento) é dado por:
Este pode ser visto como a distância desde a origem (0,0) ao ponto (2,6) e também pode obter-se facilmente a partir do teorema de Pitágoras. | Exemplo2)
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