Geometria 10º ano. Parte 2.

Vetores no plano.

Noção de: Segmentos orientados equipolentes.

Dois segmentos são equipolentes quando têm a mesma direção, sentido e comprimento.

Exemplo) 

Segmentos equipolentes:        →

→   

Noção de: Vetor

Um vetor fica caraterizado por uma direção, um sentido e um comprimento.

Exemplo) 

→

Vetor com um comprimento, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.

Noção de: Norma de um vetor  

é a medida do seu comprimento e representa-se por

Exemplo) 

Na figura,

o vetor tem norma ou comprimento 2 

Noção:Vetores colineares.

Dois vetores não nulos são colineares quando têm a mesma direção. O vetor nulo é colinear a qualquer vetor.

Os vetores

 da figura abaixo, são colineares 

e também se pode observar  que

Noção: Vetores simétricos.

Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

Os vetores que se seguem são simétricos:

Comentário: 

Facilmente se percebe que dois vetores simétricos também são colineares.

Noção de: Soma de um ponto com um vetor:

Exemplo) 

Dado o ponto A, 

A •

se somarmos o vetor 

Obtemos o ponto B

isto é, 

Comentários: 

Colocamos o ponto " A" na origem do vetor. O ponto "B" corresponde à extremidade.

Noção: Soma/diferença de dois vetores.

Exemplo) 

isto é, 

 Assim também podemos ter a diferença de vetores: 

Comentários: 

Regra prática: podemos colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor.

O vetor soma obtém-se ligando a origem do primeiro à extremidade do segundo:

...mas existem outros processos tais como a Regra do Paralelogramo:

Noção:Multiplicação de um vetor por um número real.

Exemplo) 

Consideremos o vetor.

multiplicando por 3, obtemos um vetor com a mesma direção e sentido mas com o triplo do comprimento:

mas se multiplicarmos por -3, fica com o sentido contrário.

Comentários: 

Algumas propriedades: das operações com vetores.

A soma de vetores é comutativa.

|

O vetor nulo é apenas um ponto. A soma do vetor nulo com qualquer vetor dá o próprio vetor.

|

A soma de um vetor com o seu simétrico dá o vetor nulo.

|

a soma de vetores verifica a propriedade associativa

|

A propriedade distributiva em relação à soma dos escalares: 

|

Escalar para fora:

|

Distributiva em relação à soma de vetores:

|

Qualquer vetor a multiplicar pelo escalar 1, dá o próprio vetor.

Alguns Exemplos) 

Exemplo)

|

Exemplo

|

Exemplo

Noção de: Coordenadas de um vetor.

Consideramos um referencial cartesiano Oxy.

e escrevemos cada vetor em função dos vetores da

Exemplo1) 

Para passar de D para E, andamos duas unidades na horizontal e uma unidade na vertical:

então pode ser obtido como a soma:

Indicamos 

ou 

|

Exemplo2) 

Vetor posição de um ponto.

Na figura, temos o ponto A de coordenadas (3,2).

O vetor que liga a origem O ao ponto A,

,

tem coordenadas (3,2), como se pode observar na figura.

Aplicação: Operações com vetores nas coordenadas.

consideremos

Coordenadas da soma de dois vetores.

somamos as coordenadas respetivas.

|

Coordenadas da diferença de dois vetores.

subtraímos as respetivas coordenadas.

|

Coordenadas do produto de um escalar por um vetor.

multiplicamos o escalar por cada uma das coordenadas.

Exemplos) 

Consideremos os vetores de coordenadas:

Soma: 

|

Diferença:

|

Multiplicação por 4

.

|

Simétrico ou multiplicação por -1.

Aplicação: Vetores colineares.

se dois vetores 

são colineares, as suas coordenadas são proporcionais, isto é, então existe k tal que

Se as coordenadas forem todas não nulas, temos:

Exemplo1) 

são colineares, pois: 

ou 

que dá 3.

|

Exemplo2) 

são colineares, pois

que dá -4.

|

Exemplo3) 

O vetor de coordenadas (0, 10) 

é colinear com o vetor de coordenadas ( 0, 2 ),

pois são ambos vetores verticais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. 

Justificamos: (0, 10)=5×(0, 2).

|

Exemplo4) 

O vetor de coordenadas (8, 0) 

é colinear com o vetor de coordenadas ( 2, 0 ),

pois são ambos vetores horizontais, mas não podemos justificar com o quociente das respetivas coordenadas. 

Justificamos com  (8, 0)=4×(2, 0).

Noção de: Vetor como diferença de dois pontos. 

Dados os pontos A(a₁, a₂) e B(b₁,b₂)

então:

Exemplo) 

 Sejam A(2,5) e B(3, 8), então:

Noção de: Soma de um ponto com um vetor.

Dados um ponto e um vetor de coordenadas

respetivamente, então

As coordenadas da soma do ponto com os vetor são:

somamos as respetivas coordenadas.

A soma de um ponto com um vetor dá um ponto.

Exemplo) 

Sejam o ponto e o vetor 

então

a soma dá o ponto (7, 7).

Noção de: Norma de um vetor

A partir das coordenadas.

se 

então:

Exemplo1) 

Consideremos o vetor

.

Usando a fórmula, a sua norma, (ou comprimento) é dado por:

Este pode ser visto como a distância desde a origem (0,0) ao ponto (2,6) e  também pode obter-se facilmente a partir do teorema de Pitágoras.

|

Exemplo2)