AE12-Funções

Parte 4 (de 4)

Funções exponencial e logarítmica.

Juros e número e.

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Juros compostos

O capital acumulado (C_n ) que se obtém aplicando-se juros compostos à taxa de r %, em cada período de tempo T a um capital inicial C₀ , durante n desses períodos T, é dado por: (n número natural)

ou

Múltiplas capitalizações ao ano

O capital disponível ao fim de um ano, dividindo esse ano em n períodos de tempo iguais a T e aplicando juros compostos à taxa de (r/n) %  a cada um desses períodos de tempo é:

ou

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Número de Neper

O número é dado pelo limite da sucessão convergente

 é designado pela letra e e conhecido como o número de Neper, é um número irracional e o seu valor aproximado é

e ≈ 2,71828...

Função exponencial.

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Função exponencial de base a (a >1)

Uma função real de variável real do tipo f(x)= a^x, (a >1) é uma

função exponencial.

•D=R

•D'=R⁺

•Função injetiva

• Função contínua

• Assíntotas: y = 0

•A função é estritamente crescente.

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Equações e inequações com exponenciais

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Regras operatórias

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Função exponencial de base e

Designa-se por função exponencial a função exponencial de base e e representa-se por “exp”: exp(x)=e^x.

Nota: as propriedades são as mesmas que f(x)=a^x, com a >1, pois, também e >1.

Função logarítmica.

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Função logarítmica de base a

A função logarítmica designa a função inversa da função exponencial.

Para a >1 , a função inversa da função

é a função logarítmica de base a que se representa por:

log_ax , lê-se “logaritmo de x na base a”

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Propriedades: logaritmos.

• O logaritmo de 1 em qualquer base é 0

• O logaritmo de a é igual a 1, em qualquer base a

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•

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Logaritmos especiais

Logaritmo decimal é um logaritmo de base 10 e representa-se por log x.

e temos 

log x=y ⇔ x=10^y.

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Logaritmo neperiano é um logaritmo de base e e representa-se por ln x e temos

ln x=y ⇔ x=e^y

Domínio:

Contradomínio:

Zeros:

Sinal:

Monotonia: é estritamente crescente

Limites:

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Regras operatórias

Sejam x e y números reais positivos, a >1

Limites notáveis

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Limites de funções do tipo f(x)^g(x)

Derivadas: Exp. e Log.

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Derivadas de funções exponenciais

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Derivadas de funções logarítmicas

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Derivada de potências de expoente real

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Modelos exponenciais

As equações da forma

f '(t)=k.f(t),

que representam situações em que a taxa de variação é aproximadamente proporcional à quantidade de grandeza existente em determinado instante.

Estas equações admitem como solução expressões do tipo

f(t)=Ce^kx,

em que C é constante e k a constante de proporcionalidade.