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AE12-Funções Parte 4 (de 4) Funções exponencial e logarítmica. |
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Juros e número e. | Juros compostos O capital acumulado (Cn ) que se obtém aplicando-se juros compostos à taxa de r %, em cada período de tempo T a um capital inicial C0 , durante n desses períodos T, é dado por: (n número natural)
ou
Múltiplas capitalizações ao ano O capital disponível ao fim de um ano, dividindo esse ano em n períodos de tempo iguais a T e aplicando juros compostos à taxa de (r/n) % a cada um desses períodos de tempo é:
ou
| Número de Neper O número é dado pelo limite da sucessão convergente
é designado pela letra e e conhecido como o número de Neper, é um número irracional e o seu valor aproximado é e ≈ 2,71828... |
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Função exponencial. | Função exponencial de base a (a >1) Uma função real de variável real do tipo f(x)= ax, (a >1) é uma função exponencial. •D=R •D'=R+ •Função injetiva • Função contínua • Assíntotas: y = 0 •A função é estritamente crescente. |
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| Equações e inequações com exponenciais
| Regras operatórias
| Função exponencial de base e Designa-se por função exponencial a função exponencial de base e e representa-se por “exp”: exp(x)=ex.
Nota: as propriedades são as mesmas que f(x)=ax, com a >1, pois, também e >1. |
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Função logarítmica. | Função logarítmica de base a A função logarítmica designa a função inversa da função exponencial. Para a >1 , a função inversa da função
é a função logarítmica de base a que se representa por:
logax , lê-se “logaritmo de x na base a” | Propriedades: logaritmos. • O logaritmo de 1 em qualquer base é 0 • O logaritmo de a é igual a 1, em qualquer base a • • • | Logaritmos especiais Logaritmo decimal é um logaritmo de base 10 e representa-se por log x. e temos log x=y ⇔ x=10y. | Logaritmo neperiano é um logaritmo de base e e representa-se por ln x e temos ln x=y ⇔ x=ey
Domínio:
Contradomínio:
Zeros:
Sinal:
Monotonia: é estritamente crescente
Limites:
| Regras operatórias Sejam x e y números reais positivos, a >1 |
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Limites notáveis
| Limites de funções do tipo f(x)g(x) |
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Derivadas: Exp. e Log. | Derivadas de funções exponenciais
| Derivadas de funções logarítmicas
| Derivada de potências de expoente real
| Modelos exponenciais As equações da forma f '(t)=k.f(t), que representam situações em que a taxa de variação é aproximadamente proporcional à quantidade de grandeza existente em determinado instante. Estas equações admitem como solução expressões do tipo f(t)=Cekx, em que C é constante e k a constante de proporcionalidade. |
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