AE12-Funções

Parte 2.(de 4)

Derivadas, monotonia, concavidade.

Derivadas

Derivada de uma função num ponto

Considerando uma função real de variável real f e a um ponto do seu domínio, a taxa instantânea de variação de f no ponto a, também designada por

derivada de f no ponto a, (f '(a ))

é dada por:

quando este limite existe e é finito.

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Geometricamente, f '(a) é o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a.

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Nota: Diz-se que f é diferenciável em a se f '(a) existir e for finita.

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Diferenciabilidade e continuidade

Se f é uma função real de variável real que é diferenciável em a então f é continua em a.

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A afirmação reciproca não é necessariamente verdadeira (uma função pode ser contínua num ponto e não ser diferenciável nesse ponto)

Regras de derivação

'

A partir destas, podemos deduzir ainda as derivadas:

Nota: mais adiante teremos mais algumas regras, mais gerais, que resultam destas, aplicando a derivada da função composta.

Monotonia e extremos.

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Relação entre a variação e os extremos de f e o sinal da derivada

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Seja f uma função contínua em ]a, b[

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Nulidade da derivada num extremo.

Seja f uma função real de variável real cujo domínio contém um intervalo não vazio I=]a, b[.

Se f atinge um extremo relativo em x₀ pertencente a I e se f é diferenciável em x₀ , então f '(x₀) = 0.

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Nota: A derivada pode ser nula num ponto sem ser um extremo da função e pode também existir um extremo sem que exista derivada nesse ponto.

Segunda derivada e concavidades.

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Derivada de segunda ordem

(ou segunda derivada).

Seja f :D → R uma função diferenciável no intervalo I contido em  D_f.

Se a função f ' : I → R for diferenciável, a sua derivada designa-se por

derivada de segunda ordem de f ou segunda derivada de f

e representa-se por f ''.

Assim,

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Sentido da concavidade

Seja f uma função diferenciável num intervalo I.

• Se

então f tem a concavidade voltada para cima em I

• Se 

então f tem a concavidade voltada para baixo em I.

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Ponto de inflexão

Dada uma função f : D→ R e c um ponto do domínio D, o ponto (c, f (c )) é um ponto de inflexão do gráfico de f se existirem número reais a < c  e b > c  tais que o intervalo [a, b] está contido em D e a concavidade do gráfico de f no intervalo [a, c], tem sentido contrário à concavidade do gráfico de f no intervalo [c, b].

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Dizemos então que o gráfico de f tem um ponto de inflexão em c

(ou c é um ponto de inflexão de f).

Nota: Neste caso, se f ''(c) existe, então f ''(c) = 0.

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Segunda derivada e extremos locais.

Seja f uma função duas vezes diferenciável num intervalo ]a, b[, a < b  e c um ponto de ]a, b[, tal que f '(c) = 0.

• Se f ''(c) >0, então a função f tem um mínimo local em c

• Se f ''(c) < 0 , então a função f tem um máximo local em c

Função composta, limites e derivadas.

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Função composta

Dadas as funções

g: D_g →A e  f:D_f  →B ,

a função composta de f com g é a função:

fog: D_fog →B ,

tal que:

e

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Limite da função composta

Sejam f e g funções de variável real e a um ponto aderente ao domínio da função gof .

Se

 então:

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Continuidade da função composta:

Se a pertence ao domínio de  gof, f é continua em a e g é contínua em f (a), então

gof é contínua em a. 

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Derivada da função composta.

 Dadas uma função

f:Df→R

diferenciável num ponto a pertencente a D_f, e uma função real de variável real g:Dg→R,

diferenciável em f(a), a função composta gof é diferenciável em a

e 

Nota: Regras de derivação utilizando a derivada da composta:

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a partir de 

podemos obter o caso mais geral:

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a partir de 

podemos obter o caso mais geral:

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a partir de 

podemos obter o caso mais geral:

Cinemática

Seja p : I → R, sendo p(t) a abcissa do ponto P no instante t, em que a função posição de um ponto P que se desloca numa reta r, tem-se:

• A velocidade média do ponto P no intervalo[t₁, t₂]:

• A velocidade instantânea do ponto P no instante t é igual a p'(t).

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• A aceleração média do ponto P no intervalo [t₁, t₂]  é igual a:

• A aceleração instantânea do ponto P no instante t é igual a p''(t). 

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(Funções trigonométricas.)