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AE12-Funções Parte 2.(de 4) Derivadas, monotonia, concavidade. |
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Derivadas Derivada de uma função num ponto Considerando uma função real de variável real f e a um ponto do seu domínio, a taxa instantânea de variação de f no ponto a, também designada por derivada de f no ponto a, (f '(a )) é dada por:
quando este limite existe e é finito. | Geometricamente, f '(a) é o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a. | Nota: Diz-se que f é diferenciável em a se f '(a) existir e for finita. | Diferenciabilidade e continuidade Se f é uma função real de variável real que é diferenciável em a então f é continua em a. | A afirmação reciproca não é necessariamente verdadeira (uma função pode ser contínua num ponto e não ser diferenciável nesse ponto) |
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Regras de derivação A partir destas, podemos deduzir ainda as derivadas: Nota: mais adiante teremos mais algumas regras, mais gerais, que resultam destas, aplicando a derivada da função composta. |
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Monotonia e extremos. | Relação entre a variação e os extremos de f e o sinal da derivada | Seja f uma função contínua em ]a, b[
| Nulidade da derivada num extremo. Seja f uma função real de variável real cujo domínio contém um intervalo não vazio I=]a, b[. Se f atinge um extremo relativo em x0 pertencente a I e se f é diferenciável em x0 , então f '(x0) = 0. | Nota: A derivada pode ser nula num ponto sem ser um extremo da função e pode também existir um extremo sem que exista derivada nesse ponto. |
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Segunda derivada e concavidades. | Derivada de segunda ordem (ou segunda derivada). Seja f :D → R uma função diferenciável no intervalo I contido em Df. Se a função f ' : I → R for diferenciável, a sua derivada designa-se por derivada de segunda ordem de f ou segunda derivada de f e representa-se por f ''. Assim, | Sentido da concavidade Seja f uma função diferenciável num intervalo I. • Se
então f tem a concavidade voltada para cima em I • Se
então f tem a concavidade voltada para baixo em I. | Ponto de inflexão Dada uma função f : D→ R e c um ponto do domínio D, o ponto (c, f (c )) é um ponto de inflexão do gráfico de f se existirem número reais a < c e b > c tais que o intervalo [a, b] está contido em D e a concavidade do gráfico de f no intervalo [a, c], tem sentido contrário à concavidade do gráfico de f no intervalo [c, b]. | Dizemos então que o gráfico de f tem um ponto de inflexão em c (ou c é um ponto de inflexão de f). Nota: Neste caso, se f ''(c) existe, então f ''(c) = 0. | Segunda derivada e extremos locais. Seja f uma função duas vezes diferenciável num intervalo ]a, b[, a < b e c um ponto de ]a, b[, tal que f '(c) = 0. • Se f ''(c) >0, então a função f tem um mínimo local em c • Se f ''(c) < 0 , então a função f tem um máximo local em c |
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Função composta, limites e derivadas. | Função composta Dadas as funções g: Dg →A e f:Df →B , a função composta de f com g é a função: fog: Dfog →B , tal que: e | Limite da função composta Sejam f e g funções de variável real e a um ponto aderente ao domínio da função gof . Se
então:
| Continuidade da função composta: Se a pertence ao domínio de gof, f é continua em a e g é contínua em f (a), então gof é contínua em a. | Derivada da função composta. Dadas uma função f:Df→R diferenciável num ponto a pertencente a Df, e uma função real de variável real g:Dg→R, diferenciável em f(a), a função composta gof é diferenciável em a e |
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Nota: Regras de derivação utilizando a derivada da composta:
| a partir de
podemos obter o caso mais geral:
| a partir de
podemos obter o caso mais geral:
| a partir de
podemos obter o caso mais geral:
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Cinemática Seja p : I → R, sendo p(t) a abcissa do ponto P no instante t, em que a função posição de um ponto P que se desloca numa reta r, tem-se: • A velocidade média do ponto P no intervalo[t1, t2]:
• A velocidade instantânea do ponto P no instante t é igual a p'(t). | • A aceleração média do ponto P no intervalo [t1, t2] é igual a:
• A aceleração instantânea do ponto P no instante t é igual a p''(t). |
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(Funções trigonométricas.) |
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