AE11-Funções.

Parte 3. (de 4)

Limites e indeterminações.

Limite de uma função num ponto.

(segundo Heine).

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Ponto aderente

Seja A um conjunto de números reais e a um número real, então a é considerado um ponto aderente a A quando existe uma sucessão (x_n) de elementos de A de tal forma que lim x_n= a .

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Limite de uma função num ponto (definição segundo Heine)

Se f é uma função real de variável real e a e b são números reais, o limite de f(x) quando x tende a é b se a é um ponto aderente do domínio de f e, para toda a sucessão (x_n) de elementos desse domínio convergente para a,

lim f (x_n)= b

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Observações:

• A notação para limite de f(x) quando x tende para a é

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• O limite de f(x) quando x tende para a, se existir, é único.

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• A definição de limite de uma função num ponto estende-se ao caso de limites infinitos.

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Limite laterais

Se f é uma função real de variável real com a e b reais, então:

 b é o limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a

(b é limite de f (x ) à esquerda de a) se

A notação utilizada é

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b é o limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a

(b é limite de f(x) à direita de a) se

A notação utilizada é

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Propriedades

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Limite no infinito

Se f é uma função real de variável real em que o domínio (D_f) não é majorado (respetivamente, minorado)

e escreve-se

respetivamente, 

Operações com limites

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Nota:

Existem situações particulares em que f e L₁

poderão ter de ser 

Indeterminações

Tipo:

Situação mais frequente para resolver:

•Com polinómios, considera-se o limite do termo de maior grau

• Com frações racionais, efetua-se a soma ou diferença das frações

• Com binómio que envolvem radicais, efetua-se a multiplicação e divisão pelo binómio conjugado

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Tipo:

Situação mais frequente para resolver:

•Com frações racionais, considera-se o limite da fração com os termos de maior grau do numerador e do denominador

• Com expressões que envolvem radicais, colocar em evidência o termo de maior grau no numerador e denominador

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Tipo:

Situação mais frequente para resolver:

• Com frações racionais, fatoriza-se o numerador e o denominador, de forma a simplificar a fração

• Com binómios que envolvem expressões com radicais, efetua-se a multiplicação e divisão pelo binómio conjugado.

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Tipo:

Efetua-se a multiplicação de modo a obter a indeterminação

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Produto de uma função limitada por uma função de limite nulo

Se f e g são funções reais de variável real, a é um ponto aderente ao domínio de ambas e 

g é uma função limitada então

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(Taxa de variação e derivada.)