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AE11-Funções. Parte 3. (de 4) Limites e indeterminações. |
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Limite de uma função num ponto. (segundo Heine). | Ponto aderente Seja A um conjunto de números reais e a um número real, então a é considerado um ponto aderente a A quando existe uma sucessão (xn) de elementos de A de tal forma que lim xn= a . | Limite de uma função num ponto (definição segundo Heine) Se f é uma função real de variável real e a e b são números reais, o limite de f(x) quando x tende a é b se a é um ponto aderente do domínio de f e, para toda a sucessão (xn) de elementos desse domínio convergente para a, lim f (xn)= b | Observações: • A notação para limite de f(x) quando x tende para a é
| • O limite de f(x) quando x tende para a, se existir, é único. | • A definição de limite de uma função num ponto estende-se ao caso de limites infinitos. | Limite laterais Se f é uma função real de variável real com a e b reais, então: b é o limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a (b é limite de f (x ) à esquerda de a) se
A notação utilizada é
| b é o limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a (b é limite de f(x) à direita de a) se
A notação utilizada é
| Propriedades
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| Limite no infinito Se f é uma função real de variável real em que o domínio (Df) não é majorado (respetivamente, minorado)
e escreve-se
respetivamente,
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Operações com limites
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| Nota: Existem situações particulares em que f e L1 poderão ter de ser |
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Indeterminações Tipo:
Situação mais frequente para resolver: •Com polinómios, considera-se o limite do termo de maior grau • Com frações racionais, efetua-se a soma ou diferença das frações • Com binómio que envolvem radicais, efetua-se a multiplicação e divisão pelo binómio conjugado | Tipo:
Situação mais frequente para resolver: •Com frações racionais, considera-se o limite da fração com os termos de maior grau do numerador e do denominador • Com expressões que envolvem radicais, colocar em evidência o termo de maior grau no numerador e denominador | Tipo: Situação mais frequente para resolver: • Com frações racionais, fatoriza-se o numerador e o denominador, de forma a simplificar a fração • Com binómios que envolvem expressões com radicais, efetua-se a multiplicação e divisão pelo binómio conjugado. | Tipo:
Efetua-se a multiplicação de modo a obter a indeterminação
| Produto de uma função limitada por uma função de limite nulo Se f e g são funções reais de variável real, a é um ponto aderente ao domínio de ambas e
g é uma função limitada então
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(Taxa de variação e derivada.) |
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