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AE10-Funções. Parte 3 (de 3) Polinómios. |
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Operações com polinómios | Adição, subtração e multiplicação de polinómios
| Divisão inteira de polinómios
| Regra de Ruffini Método que simplifica o cálculo do quociente e resto da divisão inteira de um polinómio P(x) por (x- a).
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Fatorização de polinómios | Teorema do resto •Dado um polinómio P(x) e um número real a, o resto da divisão inteira de P(x) por (x-a) é igual a P(a) | • P(x) é divisível por (x-a) se e só se P(a)=0 |
| Número de zeros (raízes) de um polinómio •Se P(x) é divisível por (x-a), então diz-se que a é um zero do polinómio P(x). | • Um polinómio de grau n tem, no máximo, n zeros. | Multiplicidade da raiz de um polinómio a é raiz de P(x) com multiplicidade n, quando n é o maior número natural para o qual P(x) é divisível por (x-a)n. P(x)=(x-a)n×Q(x). |
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Fatorização de um polinómio. Dado um polinómio P(x) de grau n, com n natural, com k raízes distintas a1, a2, ...ak, com multiplicidades n1, n2, ...nk, respetivamente, tem-se que: e existe um polinómio Q(x), sem raízes, tal que
| Nota: Se n1+n2+...+nk=n, então Q(x) tem grau zero e é igual ao coeficiente do termo de maior grau. | Raízes inteiras de um polinómio Dado um polinómio P(x) com coeficientes inteiros, se tiver raízes inteiras, estas são divisores do termo independente (que tem grau zero) do polinómio P(x) Exemplo: Se o polinómio
tem raízes inteiras, então só podem ser -2, -1,1 ou 2 | |
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Inequações de grau superior ao primeiro Para resolver uma inequação do tipo
fatoriza-se o primeiro membro e estuda-se o sinal dos seus fatores. Exemplo:
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