AE10-Funções.

 Parte 3 (de 3)

Polinómios.

Operações com polinómios

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Adição, subtração e multiplicação de polinómios

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Divisão inteira de polinómios

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Regra de Ruffini 

Método que simplifica o cálculo do quociente e resto da divisão inteira de um polinómio P(x) por (x- a).

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Fatorização de polinómios

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Teorema do resto

•Dado um polinómio P(x) e um número real a, o resto da divisão inteira de

P(x) por (x-a) é igual a P(a)

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• P(x) é divisível por (x-a) se e só se P(a)=0

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Número de zeros (raízes) de um polinómio

•Se P(x) é divisível por (x-a), então diz-se que a é um zero do polinómio P(x).

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• Um polinómio de grau n tem, no máximo, n zeros.

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Multiplicidade da raiz de um polinómio

a é raiz de P(x) com multiplicidade n, quando n é o maior número natural para o qual P(x) é divisível por (x-a)ⁿ.

P(x)=(x-a)ⁿ×Q(x).

Fatorização de um polinómio.

Dado um polinómio P(x) de grau n, com n natural, com k raízes distintas

a₁, a₂, ...a_k, com multiplicidades n₁, n₂, ...n_k,

respetivamente, tem-se que:

e existe um polinómio Q(x), sem raízes, tal que 

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Nota: Se n₁+n₂+...+n_k=n, então Q(x) tem grau zero e é igual ao coeficiente do termo de maior grau.

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Raízes inteiras de um polinómio

Dado um polinómio P(x) com coeficientes inteiros, se tiver raízes inteiras, estas são divisores do termo independente (que tem grau zero) do polinómio P(x)

Exemplo: Se o polinómio

tem raízes inteiras, então só podem ser -2, -1,1 ou 2

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Inequações de grau superior ao primeiro

Para resolver uma inequação do tipo

fatoriza-se o primeiro membro e estuda-se o sinal dos seus fatores.

Exemplo: