Geometria 10º ano-parte 4

Geometria analítica no Espaço.

Noção de: Referencial ortonormado no espaço.

Num referencial ortonormado Oxyz do espaço, temos três eixos

Eixo dos xx ou eixo das abcissas.

Eixo yy ou eixo das ordenadas. 

Eixo dos zz ou eixo das cotas.

Noção de:Coordenadas de um ponto no espaço.

Num referencial ortonormado Oxyz do espaço, um ponto P é dado por três coordenadas P(x,y,z_,),

onde:

x- abcissa   y- ordenada    z- cota.

Exemplo) 

 Consideremos o ponto  P( 3,2,4). Existe um e apenas um ponto do espaço que tem estas coordenadas.

Noção de: Planos coordenados.

Designamos por planos coordenados os planos x0y, x0z e y0z.

Plano xoy:  

Plano xoz:

Plano yoz:

Noção de:Planos paralelos aos planos coordenados.

|

O plano x0y pode ser definido pela condição:  z=0. 

Os planos paralelos a este terão equação z=k.

|

O plano x0z pode ser definido pela condição y=0

Os planos paralelos a este terão equação y=k

|

O plano y0z pode ser definido pela condição x=0.

Os planos paralelos a este terão equação x=k

|

Exemplo1) 

 Plano de equação x=2.

Este plano é paralelo ao plano y0z e passa no ponto

(2, 0, 0)

|

Exemplo2) 

Plano de equação z=4.

Este plano é paralelo ao plano x0y e passa no ponto

(0, 0, 4)

|

Exemplo3) 

Plano de equação y=3.

Este plano é paralelo ao plano x0z e passa no ponto

(0, 3, 0)

|

Exemplo4) 

 Consideremos o paralelepípedo:

Neste paralelepípedo, podemos identificar as coordenadas dos seguintes pontos:

O(0,0,0)     A(3,0,0)     B(3,2,0)     C(0,2,0)    

D(0,0,5)     E(3,0,5)     F(3,2,5)     G(0,2,5)

|

Podemos ainda identificar os seguintes

planos:

ABC  z=0

ABF  x=3

BCG  y=2

EFG  z=5

Noção de: Retas paralelas aos eixos coordenados.

O eixo dos xx pode ser identificado pelas equações:

y=0 ꓥ z =0,

pois é a interseção dos planos coordenados y=0 ( ou x0z)  e z=0 ( ou x0y).

Repare que, de facto, todos os pontos do eixo dos xx são do tipo (x,0,0) isto é, têm ordenada e cota nulas.

|

  O eixo dos yy pode ser identificado pelas equações:

x=0 ꓥz=0,

pois é a interseção dos planos coordenados x=0 ( ou y0z)  e z=0 ( ou x0y).

|

O eixo dos zz pode ser identificado pelas equações:

y=0 ꓥx=0,

pois é a interseção dos planos coordenados y=0 ( ou x0z)  e x=0 ( ou y0z).

|

Exemplo) 

 Consideremos o paralelepípedo:

Podemos identificar as seguintes retas e respetivas equações:

Reta AO  y=0ꓥz=0

ED y=0 ꓥ z=5    

EF x=3 ꓥ z=5

    BF x=3ꓥ y=2  

CG x=0 ꓥy=2

Noção de:Distância entre dois pontos no Espaço.

Dados dois pontos A(a₁, a₂, a₃) e B(b₁, b₂, b₃), a distância entre A e B,

d(A,B) é dada por 

Exemplo) 

 Sejam os pontos A(2,3,4) e B(1,6,7)

A distância entre A e B, d(A,B) é

Comentário: 

Esta fórmula é semelhante à fórmula correspondente no plano....

Noção de: Planos mediador de um segmento de reta.

O plano mediador do segmento de reta [AB] é formado por todos os pontos do espaço,  P(x,y,z) que estão à mesma distância do ponto A e do ponto B.

Em particular, o ponto médio do segmento [AB] pertence a esse plano.

d(A,P)=d(B,P)

Sejam A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃) e P(x, y, z).

O plano mediador tem equação:

Exemplo) 

Consideremos os pontos: A(1,2,3) e B(3,4,6).

Seja P(x,y,z) um ponto do plano mediador do segmento [AB].

Então d(A,P)=d(B,P), isto é,

Desenvolvendo os quadrados…e ordenando...

cortando...

obtemos:

...e finalmente temos a equação do plano mediador do segmento [AB].

4x+4y+6z-47=0

Comentário1: 

Esta dedução é semelhante à dedução feita para a reta mediatriz...

|

Comentário2:

 Ponto médio.

A      M      B

Dado um segmento [AB], o ponto médio M pertence ao segmento [AB] e está à mesma distância dos pontos A e B.

Sejam 

A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃)

  então 

“Somamos as coordenadas respetivas e dividimos por dois”

...tal como no plano.

Noção de: Superfície esférica e esfera.

Superficie esférica é o conjunto dos pontos P(x,y,z)que se encontram a uma distância r (raio) de um dado ponto C(a,b,c) (centro).

a sua equação é dada por:

Esfera é dada por:

Exemplo1) 

Superfície esférica com centro (1,2,3) e raio 4

Exemplo2) 

A equação

corresponde a uma superfície esférica de

raio 6 e centro ( -2, 4, -5)

Comentários: 

A equação obtém-se da mesma forma que anteriormente obtivemos a equação da circunferência(no plano).

Comentários:

Os vetores e retas no espaço funcionam de uma forma semelhante ao que vimos no plano, pelo que não será aqui abordada.