Geometria 10º ano-parte 3

Retas no plano.

Noção de:Vetor diretor de uma reta.

Um vetor diretor de uma reta é qualquer vetor não nulo com a direção da reta.

Exemplo) 

Na figura, a reta admite 

como vetor diretor.

Noção de: Declive de uma reta não vertical.

um vetor diretor de uma reta não vertical.

Então o declive da reta é 

é a segunda coordenada a dividir pela primeira.

Exemplo1) 

Consideremos a reta AB da figura:

Ela admite

 como vetor diretor.

Como o vetor

tem coordenadas (3,1),

o declive da reta é igual ao quociente da 2ª coordenada do vetor diretor pela 1º coordenada,

Por outro lado, também podíamos ter calculado o declive  tendo em conta que a reta passa pelos pontos

A(0,1) e B(3, 2), e o declive da reta seria

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Exemplo2)

Para uma reta dada pela equação reduzida y=mx+b,

o declive é m, e um possível vetor diretor poderá ser do tipo (1,m). 

Por exemplo, consideremos a reta de equação y=3x+5,

Lembremos que para esta reta, a ordenada na origem é 5, como podemos ver na figura acima e que, por cada unidade que avançamos no eixo dos xx, subimos 3 unidades no eixo dos yy.  

Para esta reta y=3x+5, o declive é 3 e um possível vetor diretor podia ter coordenadas (1, 3).

Mas podia ser outro vetor diretor, desde que o declive fosse 3. Por exemplo o vetor de coordenadas (2, 6), ou (3,9),...

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Exemplo3)

Se tivermos duas retas distintas mas com o mesmo declive, por exemplo y=3x+5 e y=3x+1,

estas serão paralelas, como podemos observar na figura:

reparemos que a primeira reta tem ordenada na origem 5 e a segunda tem ordenada na origem 1, mas ambas têm o mesmo declive por isso são paralelas.

Exemplo4)

Uma reta horizontal tem sempre declive zero. 

por exemplo, y=4 na figura. 

bastaria exprimir y=0x+4 para deduzir que m=0.

Outro processo seria considerar um vetor diretor horizontal de coordenadas (1, 0) e fazer m=0/1 =0. 

Comentários: 

Nas retas verticais não definimos declive, pois as coordenadas do vetor diretor seriam do tipo (k,0), e no conjunto dos números reais não faz sentido o quociente k/0.

Noção de: Vetor diretor de uma reta vertical.

As retas verticais têm equação x=k.

Um vetor diretor para uma reta vertical terá coordenadas (0,b) com b diferente de zero.

Exemplo) 

Consideremos a reta vertical de equação x=2

Um possível vetor diretor poderá ter coordenadas  coordenadas (0, 1), mas também podia ser, por exemplo (0, 2)  ou até (0, -3),...

Comentário: 

O vetor de coordenadas (0,1) serve como vetor diretor para qualquer reta vertical.

Noção de: Retas paralelas.

Se duas retas paralelas têm declives m e m' respetivamente, então

m=m'.

Se duas retas distintas são verticais , então são paralelas.

Exemplo1) 

As retas de equações y=2x+3 e y=2x +1 são paralelas, pois têm o mesmo declive, m=2.

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Exemplo2) 

Duas retas horizontais y=4 e y=6 são paralelas.

Ambas têm declive zero.

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Exemplo3) 

Duas retas verticais x=2 e x=5 são paralelas.

Comentário: 

Se duas retas paralelas têm declive, então os declives são iguais.

Noção de: Equação vetorial de uma reta.

Seja r a reta que passa pelo ponto 

e seja P(x, y) um ponto qualquer da reta r, então

Exemplo) 

Consideremos a reta que passa no ponto de coordenadas A(2, 3) e tem a direção do vetor vetor 

A equação da reta será da forma 

(x, y)= (2,3)+k(3, 1) com k um número real.

Se escolhermos diferentes valores para k, podemos obter vários pontos da reta.

Para k=0, temos o ponto (2,3)

Para k=1, temos o ponto (5, 4) …