Sólidos.

Áreas e volumes.

 Cubo

Volume:

V=a×a×a=a³.

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Área da superfície do cubo: 

Corresponde à soma das áreas de todas as faces.

A=6a².

Exemplo  

Calculemos o volume e a área da superfície do cubo de aresta 3.

Volume:

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Área da superfície

Paralelepípedo.

Volume

V=a×b×c

|

Área da superfície:

Corresponde à soma das áreas de todas as faces

A=2×(b×c)+2×(b×a)+2×(c×a)

Exemplo

Volume

V=5×2×2.5=25 cm³

Área da superfície:

2×(5×2)+2×(5×2.5)+2×(2×2.5)=55cm².

Cilindro.

Volume:

área da base vezes altura, onde a base é um círculo de raio r.

V=A_base×h

onde

|

Área da superfície:

Área lateral + área das bases.

Onde a área lateral é o perímetro da circunferência vezes a altura.

A área das bases é a área de dois círculos de raio r.

Exemplo 

Cilindro com raio da base 3 e altura 4.

Volume

 cm³.

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Área Lateral

 cm².

       Pirâmide.

Nota 1:

Para facilitar, vamos admitir que a pirâmide é quadrangular regular, isto é, a base é um quadrado. 

Nota2:

O triângulo que se observa na pirâmide é retângulo.

Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar a altura(h), a apótema(ap) e metade da base.

(b/2)²+h²=(ap)²

Nota3:

A altura da pirâmide(h) é a distância desde o vértice até ao centro da base.

Consideremos a altura da pirâmide "h".

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Volume:

é 1/3 da área da base vezes a altura.

Área da superfície: 

Corresponde à área da base e a área lateral

A base é um quadrado. A=b×b.

onde

Exemplo

Calculemos a área da superfície e o volume da pirâmide quadrangular regular com base de lado 16 e apótema 17, isto é,

      e    

                     Como a apótema é 17 e a base é 16, vamos calcular a altura usando o teorema de Pitágoras:

Metade da base é16/2= 8

h²+8²=17²

Equivale a h²=17²-8² ou h²=225

ou seja h=15

Volume:

=1280 cm3.

Área lateral:

Área da base mais 4 vezes a área de cada triângulo lateral.

=800 cm2.

Cone.

Volume:

O volume do cone é 1/3 da área da bases vezes a altura, onde a base é um círculo. 

onde 

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 Área da superfície:

É a área da base(círculo) mais a área lateral.

onde

A área lateral resulta de multiplicar  pi pelo raio (r) e pela geratriz. (g).

A=A_base+A_lateral. 

Exemplo

Calculemos o volume e a área da superfície do cone da figura, onde o diâmetro da base é 6, a altura é 4 e a geratriz(g) é 5.

Como o diâmetro é 6, o raio é 3cm.

Área da base:

Volume:

(1/3)×A_base×altura=(1/3)×28.27×4

Aprox. 37.69 cm³.

Área da superfície:

A=A_base+A_lateral

Comentário: 

Se os comprimentos estiverem expressos em cm, as áreas serão expressas em cm² e os volumes virão em cm³.

Esfera.

Volume

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Área da superfície esférica:

Exemplo  

Calculemos o volume e a área de uma superfície esférica para uma esfera com raio 2.

Volume:

Área da superfície esférica:

Comentário:

Se o raio estiver expresso em cm, as áreas serão expressas em cm² e os volumes virão em cm³.