EQUAÇÕES.

Resolver Equações.

Nas equações existe sempre uma incógnita, normalmente x ou y, e também um sinal de igual(=).

O objetivo da resolução de uma equação é determinar o valor da incógnita, x.(ou y)

Objetivo final x=…?...

Exemplo1) 

2x+3=9 

⇔ x=???...calculemos...

Exemplo 2)

 x²+3x+7=2⇔ x=???...calculemos...

Comentários: 

Vamos ver vários tipos de equações e aprender a resolver cada tipo.

Primeiro grau:

ax+b=c

Segundo grau incompleta tipo:

ax²+c=0

Segundo grau incompleta tipo:

ax²+bx=0.

Segundo grau completa:

ax²+bx+c=0

...com a incógnita no denominador:

Sistemas de duas equações lineares:

Resolver: Equação polinomial do primeiro grau.

(ax+b=c).

Exemplo1) 

2x+5=17

Lembremos que o objetivo final é obter o valor de x.

Começamos por eliminar o valor que está a somar (ou a subtrair).

Neste caso, subtraímos o 5 em ambos os membros,

o que é o mesmo que passar o 5 para o segundo membro e trocar-lhe o sinal, pois 5-5=0.

⇔2x=12

Na etapa seguinte, queremos “eliminar” o 2.

Para isso, vamos dividir ambos os membros por 2.

Equivale a:

Como 2/2 = 1, isto equivale a passar o 2 para o segundo membro

e colocá-lo em denominador.

Finalmente, temos:

⇔ x = 6

Exemplo2)

3x-2=22

Passamos o "-2" para o segundo membro,

mas trocamos o sinal:  "+2"

⇔3x=22+2 

⇔3x=24

dividimos ambos por 3

Que equivale a passar para o segundo membro e ficar a dividir:

⇔x = 8

Comentários: 

No final da resolução da equação, podemos fazer a verificação para ver se está certo. 

No exemplo 1, temos 2x+5=17 e obtivemos x=6.

Substituindo 2×6+5=17, ou seja, 17=17.

Está certo!

Resolver: Equação polinomial incompleta do segundo grau do tipo:

ax²+c=0.

Exemplo1)

 5x²-20=0

Para eliminar o “-20”, somamos 20 em ambos os membros

⇔ 5x²-20+20=0+20

Que é o mesmo que passar o -20 para o segundo membro e trocar o sinal:

⇔ 5x²=20

De seguida, vamos dividir ambos os membros por 5:

Que é o mesmo que passar o 5 para o segundo membro e colocar em denominador.

Obtemos

Agora, queremos descobrir os números cujo quadrado é 4.

V

 isto é,

x = - 2 V x=2.

Exemplo 2) 

x²+16=0

⇔ x²= - 16

Equação impossível, pois um número real elevado ao quadrado nunca dá negativo.

Comentários: 

Nas equações  x²=k,

1º caso) quando k>0, temos sempre duas soluções.

Exemplo: x²=25, temos x=-5 ou x=5.

2º caso) quando k=0, temos apenas uma solução.

Exemplo: x²=0, temos x=0.

3º caso) quando k<0, não temos solução.

Exemplo: x²= -16, impossível.

Resolver: Equação polinomial incompleta do segundo grau do tipo

ax²+bx=0.

Exemplo1)

x²+2x=0

Colocamos o x em evidência:

⇔x(x+2)=0

Aplicamos a lei do anulamento do produto:

⇔x=0  ∨ x+2=0

acabamos de resolver:

⇔x=0  ∨ x= - 2

Exemplo 2) 

2x²-6x=0

Colocamos 2x em evidência:

⇔2x(x-3)=0

⇔2x=0  ∨ x-3=0

⇔x=0  ∨ x=3.

Comentários: 

 Na equação ax²+bx=0,

colocamos o x em evidência

e depois aplicamos a lei do anulamento do produto. 

Se for conveniente, colocamos o ax em evidência, como no exemplo2.

Resolver: Equação completa do segundo grau:

ax²+bx+c=0. (*)

 Fórmula resolvente.

(*)Nota: Nos programas do Ensino Básico, em vigor a partir de 2022/2023, esta fórmula deixará de ser dada no terceiro ciclo, passando exclusivamente para o Ensino Secundário(em vigor...2024/2025).  

Exemplo)

 x²+8x+7=0

Trata-se de uma equação completa e não corresponde a um caso notável da multiplicação.

De acordo com a fórmula acima, 

ax²+bx+c=0

a=1; b=8, e c=7

Substituindo na fórmula:

resolvendo...

como 64-28=36

e

raiz quadrada de 36 é 6, temos:

Separando

como -8-6=-14

e

-8+6=-2, temos

Comentários: 

 Antes de começar a resolver uma equação do segundo grau,

devemos analisar se ela é incompleta.

Caso seja completa, averiguamos se é um caso notável.

As duas  situações anteriores tornam a resolução mais simples do que a aplicação da fórmula resolvente.

Exemplo1)

2x²-8=0 é incompleta...

⇔2x²=8

⇔...

Exemplo 2)

x²+12x+36=0 é um caso notável.

⇔(x+6)²=0

⇔...

Exemplo 3)

x²+5x+4=0 é completa e não é um caso notável.

Então devemos aplicar a fórmula resolvente.

 ⇔...

Resolver: Equações do tipo:

Como a incógnita está no denominador da primeira fração, podemos fazer:

1º) Pelo produto cruzado: 

xc=ad ⇔ x=(ad)/c

2º)ou, diretamente:

⇔ x=(ad)/c

Exemplo1)

Como a incógnita está no denominador da primeira fração, podemos começar por aplicar

1º processo) pelo “produto cruzado”

⇔7x=2×5

e depois, passamos o 7 para o denominador do segundo membro: 

e obtemos

2º processo) ou então podemos fazer diretamente:

Comentários: 

 Devemos reparar que, nesta equação

o valor de x nunca poderá dar zero, pois está no denominador.

Resolver: 

Sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. 

1º) Exprimimos uma das variáveis em função da outra.

2º) Substituímos na outra equação para obtermos uma só variável e resolvemos. Descobrimos uma das incógnitas.

3º) Substituímos novamente e determinamos a incógnita que falta.

Exemplo

  Determinemos x e y no sistema:

Começamos por exprimir uma das variáveis em função da outra.

Escolhemos a que apresenta uma expressão mais simples: Por exemplo, na segunda equação, isolar o x, fazendo x=14-2y

Na outra equação substituímos x por esta expressão:

À primeira vista, parece que a primeira equação ficou mais complicada, mas agora tem a vantagem de conter apenas uma incógnita.

Simplificando:

Simplificando novamente:

passando o 28 para o segundo membro:

como 23-28=-5

Acertando o sinal y:

Agora, basta substituir na segunda equação o y por 5:

como 2×5=10, 

obtemos finalmente:

A solução é o par ordenado (x, y)=(4, 5).

Comentários: 

No exemplo, se quisermos confirmar a solução,

podemos substituir os valores obtidos no sistema inicial:

 fazer x=4 e y=5

simplificando

simplificando

O que mostra que os valores de x e y obtidos, estão corretos.