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EQUAÇÕES. |
Resolver Equações. Nas equações existe sempre uma incógnita, normalmente x ou y, e também um sinal de igual(=). O objetivo da resolução de uma equação é determinar o valor da incógnita, x.(ou y) Objetivo final x=…?... |
Exemplo1) 2x+3=9 ⇔ x=???...calculemos... Exemplo 2) x2+3x+7=2⇔ x=???...calculemos... |
Comentários: Vamos ver vários tipos de equações e aprender a resolver cada tipo. Primeiro grau: ax+b=c Segundo grau incompleta tipo: Segundo grau incompleta tipo: Segundo grau completa:
...com a incógnita no denominador:
Sistemas de duas equações lineares:
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Resolver: Equação polinomial do primeiro grau. |
Exemplo1) 2x+5=17 Lembremos que o objetivo final é obter o valor de x. Começamos por eliminar o valor que está a somar (ou a subtrair). Neste caso, subtraímos o 5 em ambos os membros, ⇔ 2x+5-5=17-5o que é o mesmo que passar o 5 para o segundo membro e trocar-lhe o sinal, pois 5-5=0. ⇔ 2x=17-5⇔2x=12 Na etapa seguinte, queremos “eliminar” o 2. Para isso, vamos dividir ambos os membros por 2. Equivale a:
Como 2/2 = 1, isto equivale a passar o 2 para o segundo membro e colocá-lo em denominador.
Finalmente, temos: ⇔ x = 6 Exemplo2) 3x-2=22 Passamos o "-2" para o segundo membro, mas trocamos o sinal: "+2" ⇔3x=22+2 ⇔3x=24 dividimos ambos por 3
Que equivale a passar para o segundo membro e ficar a dividir:
⇔x = 8 |
Comentários: No final da resolução da equação, podemos fazer a verificação para ver se está certo. No exemplo 1, temos 2x+5=17 e obtivemos x=6. Substituindo 2×6+5=17, ou seja, 17=17. Está certo! |
Resolver: Equação polinomial incompleta do segundo grau do tipo: |
Exemplo1) 5x2-20=0 Para eliminar o “-20”, somamos 20 em ambos os membros ⇔ 5x2-20+20=0+20 Que é o mesmo que passar o -20 para o segundo membro e trocar o sinal: ⇔ 5x2=20 De seguida, vamos dividir ambos os membros por 5:
Que é o mesmo que passar o 5 para o segundo membro e colocar em denominador.
Obtemos
Agora, queremos descobrir os números cujo quadrado é 4.
V
x = - 2 V x=2. Exemplo 2) x2+16=0 ⇔ x2= - 16 Equação impossível, pois um número real elevado ao quadrado nunca dá negativo. |
Comentários: Nas equações x2=k, 1º caso) quando k>0, temos sempre duas soluções.
Exemplo: x2=25, temos x=-5 ou x=5. 2º caso) quando k=0, temos apenas uma solução. Exemplo: x2=0, temos x=0. 3º caso) quando k<0, não temos solução. Exemplo: x2= -16, impossível. |
Resolver: Equação polinomial incompleta do segundo grau do tipo |
Exemplo1) x2+2x=0 Colocamos o x em evidência: ⇔x(x+2)=0 Aplicamos a lei do anulamento do produto: ⇔x=0 ∨ x+2=0 acabamos de resolver: ⇔x=0 ∨ x= - 2 Exemplo 2) 2x2-6x=0 Colocamos 2x em evidência: ⇔2x(x-3)=0 ⇔2x=0 ∨ x-3=0 ⇔x=0 ∨ x=3. |
Comentários: Se for conveniente, colocamos o a |
Resolver: Equação completa do segundo grau: Fórmula resolvente.
(*)Nota: Nos programas do Ensino Básico, em vigor a partir de 2022/2023, esta fórmula deixará de ser dada no terceiro ciclo, passando exclusivamente para o Ensino Secundário(em vigor...2024/2025). |
Exemplo) x2+8x+7=0 Trata-se de uma equação completa e não corresponde a um caso notável da multiplicação. De acordo com a fórmula acima, ax2+bx+c=0 a=1; b=8, e c=7 Substituindo na fórmula:
resolvendo...
como 64-28=36 e raiz quadrada de 36 é 6, temos: Separando como -8-6=-14 e -8+6=-2, temos
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Comentários: Exemplo1) 2x2-8=0 é incompleta... ⇔2x2=8 ⇔... Exemplo 2) x2+12x+36=0 é um caso notável. ⇔(x+6)2=0 ⇔... Exemplo 3) x2+5x+4=0 é completa e não é um caso notável. Então devemos aplicar a fórmula resolvente.
⇔... |
Resolver: Equações do tipo:
Como a incógnita está no denominador da primeira fração, podemos fazer: 1º) Pelo produto cruzado:
xc=ad ⇔ x=(ad)/c 2º)ou, diretamente: ⇔ x=(ad)/c |
Exemplo1)
Como a incógnita está no denominador da primeira fração, podemos começar por aplicar 1º processo) pelo “produto cruzado”
e depois, passamos o 7 para o denominador do segundo membro:
e obtemos
2º processo) ou então podemos fazer diretamente:
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Comentários:
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Resolver: Sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas.
1º) Exprimimos uma das variáveis em função da outra. 2º) Substituímos na outra equação para obtermos uma só variável e resolvemos. Descobrimos uma das incógnitas. 3º) Substituímos novamente e determinamos a incógnita que falta. |
Exemplo Determinemos x e y no sistema:
Começamos por exprimir uma das variáveis em função da outra. Escolhemos a que apresenta uma expressão mais simples: Por exemplo, na segunda equação, isolar o x, fazendo x=14-2y
Na outra equação substituímos x por esta expressão:
À primeira vista, parece que a primeira equação ficou mais complicada, mas agora tem a vantagem de conter apenas uma incógnita. Simplificando:
Simplificando novamente:
passando o 28 para o segundo membro: como 23-28=-5
Acertando o sinal y:
Agora, basta substituir na segunda equação o y por 5:
como 2×5=10,
obtemos finalmente:
A solução é o par ordenado (x, y)=(4, 5). |
Comentários: No exemplo, se quisermos confirmar a solução, podemos substituir os valores obtidos no sistema inicial:
fazer x=4 e y=5
simplificando
simplificando
O que mostra que os valores de x e y obtidos, estão corretos. |
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