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RESUMO MACS

7- Probabilidades.

Testes

Questões de Exame

 

ASSUNTO:  Introdução

Livro: TEXTO 11           páginas: 112

 

EXEMPLO   Extração de bolas                                       Página do livro:  121

1)       A Ana tem 10 rifas, das quais  4 têm prémio. Tiramos sucessivamente e ao acaso 3 dessas rifas sem reposição.

 

Determine a probabilidade de:

 

1.1) Serem duas premiadas    1.2) Serem as três premiadas  

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO:  Diagrama de Venn                                      Página do livro: 131/132

5) Numa cidade com 50 000 habitantes, 25% das pessoas assinam a revista A, 30% assinam a revista B e 12% assinam a revista A mas não assinam a revista B.

 

Escolhendo ao acaso uma pessoa desta cidade, calcule a probabilidade de

 

5.1) assinar ambas as revistas.  5.2) assinar pelo menos uma das duas revistas.

 

5.3) assinar a revista "B" mas não assinar a revista "A".

 

5.4) Não assinar nenhuma das revistas.

 

 

Resolução:

 

5.1) P=13%               5.2) P= 42%                5.3) P=17%           5.4) p=58%

 

 

 

ASSUNTO: Probabilidade condicionada.

Probabilidade total

Regra de Bayes

Acontecomentos independentes.

Livro: TEXTO 11           páginas: 128

 

 

 

Probabilidade condicionada :

 

 p(A/B)=

 

Probabilidade da interseção:

 

p(A∩B)=p(A/B)×p(B)

 

 

 

Probabilidade total :

 

P(B)= P(B/A1) ×P(A1)+ P(B/A2) ×P(A2)+ P(B/A3) ×P(A3)+…

 

 

 

Regra de Bayes: quando temos o valor de uma probabilidade condicionada e queremos o valor da probabilidade condicionada contrária:

 

p(B/A)=

 

 

 

Se A e B são independentes :

 

P(A|B)= P(A)        ou          p(A∩B)=p(A)×p(B)

 

 

EXEMPLO : Regra de Bayes                                                     Página do livro: 136

2)    Sejam A e B dois acontecimentos tais queP(A)= 0.7  e P(B)= 0.4

 

Determine P(A|B) supondo que   P(B|A) =0.2

 

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO

1)  Num estudo para determinar o sucesso na disciplina de Matemática, analisaram-se os resultados dos alunos das 3 turmas do 11º ano de uma escola e obtiveram-se os seguintes resultados:

 

 

Negativa

Positiva

Turma 1

8

12

Turma 2

10

18

Turma 3

12

10

1.1) Observe a tabela e responda:

1.1.1) Quantos eram os alunos ao todo?        

1.1.2) Quantos alunos tem a turma 1?  

1.1.3) Quantos alunos obtiveram negativa?

 

1.2) Escolhido um dos alunos ao acaso, determine a probabilidade de:

( apresente os resultados na forma de fração irredutível)

 

1.2.1)pertencer à turma 1.          1.2.2) não pertencer à turma 2.

 

1.2.3) pertencer à turma 1 e ter positiva.

 

1.2.4) pertencer à turma 1, sabendo que teve positiva.

 

1.2.5) pertencer à turma 2, sabendo que obteve negativa.

 

1.2.6) ter positiva, sabendo que pertence à turma 2.

 

1.2.7) não ter negativa, sabendo que não pertence à turma 3.

 

1.2.8) não pertencer à turma 2, sabendo que não obteve positiva.

 

1.3) Os acontecimentos “obter positiva” e “ pertencer à turma 1” são independentes? Justifique apresentando os cálculos adequados.

 

1.4) Se escolhermos uma das três turmas ao acaso e nela escolhermos um dos alunos ao acaso, qual é a probabilidade de este ter positiva? (3 c.d.)

 

 

1.5) Considere agora a seguinte experiência: Lançamos um dado perfeito e observamos o número obtido. Se sair o número 1, escolhemos ao acaso um aluno da turma 1, se sair o número 2 ou o número 3, escolhemos ao acaso um aluno da turma 2, se sair o número 4, 5, ou 6, escolhemos um aluno da turma 3.

 

1.5.1) Sabendo que saiu a face 5, qual é a probabilidade de escolher um aluno com nota negativa? apresente o resultado na forma de fração irredutível

 

1.5.2) Por este processo, qual é a probabilidade de escolher um aluno que tenha positiva? (3 c.d)

 

1.5.3) Sabendo que o aluno escolhido tem positiva, qual é a probabilidade de ele pertencer à turma 2? (3c.d.)

 

 

Resolução:

1.1.1) 70    1.1.2) 20   1.1.3) 30   1.2.1)p=    1.2.2) p=    

 

 

1.2.3) p=

 

 

1.2.4) p=    1.2.5) p=    1.2.6) p=     1.2.7) p=   

 

 

1.2.8) p=

 

 

1.3) p(positiva/T1)=    p( positiva)=       logo, não são independentes.

 

 

1.4) p( positiva)=  

 

 

1.5.1) p=     1.5.2) p( positiva)=

 

 

1.5.3) p(T2/positiva)=

 

 

 

 

EXEMPLO : Probabilidade Total  e  Regra de Bayes  

 Páginas do livro:  135/136

 

2) Na Escola Secundária de Monte da Azinha, verificou-se que 60% dos alunos de MACS são raparigas. Das raparigas, 25% são loiras, 50% têm cabelo castanho, e as restantes têm cabelo preto. Dos rapazes, 12,5% são loiros, 50% têm cabelo castanho, e os restantes têm cabelo preto. 

Escolheu-se, ao acaso, uma pessoa, de entre os alunos e as alunas de MACS, da Escola Secundária de Monte da Azinha.

 

2.1. Calcule a probabilidade de a pessoa escolhida ter cabelo loiro.

 

2.2. Calcule a probabilidade de a pessoa escolhida, na população indicada, ser rapariga, sabendo-se que tem cabelo preto.

 

Resolução:

 

2.1) p(L)=

 

2.2) p(F/P)=

 

 

 

 

EXEMPLO : Acontecimentos independentes    páginas do livro : 133-134

3)  Sejam A e B dois acontecimentos tais que

 

P(A)= 0.3  e  P(AB)=0.24    

 

3.1) Determine P(B), supondo que os acontecimentos A e B são independentes.

 

 

Resolução:

 

3.1) p(A∩B)=p(A)×p(B) 0.24=0.3×p(B)  p(B)= 

 

⇔ p(B)=0.8

 

 

 

EXEMPLO

3)No Centro de Saúde de Barcelos trabalham três pediatras: o Dr. António, o Dr. Berto e o Dr. Carlos.

 

Em 40% das vezes que uma pessoa se dirige ao Centro de Saúde para uma consulta de pediatria é o Dr. António o pediatra de serviço. Nas restantes vezes, os outros dois pediatras dividem os atendimentos em igual proporção.

 

 Em cada consulta, o pediatra de serviço pode optar por oferecer ou não um balão à criança. Sabe-se que o Dr. António o faz em 30% das suas consultas no Centro, o Dr. Berto em 45% e a Dr. Carlos em 60%.

 

  A Célinha foi à consulta de pediatria do Centro e recebeu um balão.

 

Qual a probabilidade de ter sido atendida pelo Dr. Berto?

 

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO

6) Considere duas caixas, A e B.

A caixa "A" contém duas bolas verdes e cinco bolas amarelas. A caixa "B" contém seis bolas verdes e uma amarela.

 

 Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

 

Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa "A". Caso contrário, tira-se uma bola da caixa "B".

 

Considere os acontecimentos:

 

X: "sair face par no lançamento do dado."

 

Y: "Sair bola verde."

 

   Calcule as probabilidade:

 

6.1)  P(Y|X)          6.2) P(Y∩X)       6.3) P(Y)    

 

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO

        6) A probabilidade de o Lourenço ir ao teatro no próximo domingo é de 30%. Sabe-se que a probabilidade de o Lourenço ir ao teatro se chover é de 70% e a probabilidade de chover é de 20%. Determine a probabilidade de:

 

       6.1.chover e o Lourenço ir ao teatro.

 

       6.2.não chover e o Lourenço ir ao teatro; 

 

       6.3.o Lourenço ir ao teatro, sabendo que não choveu  

 

Resolução:

 

 

T

 

CH

0.14

0.06

0.2

0.16

0.64

0.8

 

0.3

0.7

1

 6)                    P(T/CH)=0.7

 

P(T∩CH)=p(T/CH)×P(CH)=0.7×0.2=014

 

6.1) p(CH∩T)=0.14        6.2) p(    

 

 6.3)

 

 

 

 

ASSUNTO:  Modelo Poisson

Livro: TEXTO11           páginas: 143

 

 

O modelo de Poisson é usado com variáveis que representam o número de vezes que determinado fenómeno ocorre num dado período de tempo.

 

Alguns exemplos do nosso quotidiano são, por exemplo, o número de chegada de aviões, por dia, a um aeroporto; a entrada de doentes num hospital por semana; chegada de chamadas a uma central telefónica por hora etc.

 

É dado pela seguinte fórmula, na qual a variável aleatória discreta é X:

 

                    

 

sendo e o número de Neper ( também conhecido por número de Euler) e λ um parâmetro

 

 

EXEMPLO

2) O número de clientes que entra por hora num estabelecimento comercial segue uma distribuição Poisson de média 10. 

2.1) Qual é a probabilidade de, numa hora, entrarem 8 clientes nesse estabelecimento?

( indique todos os cálculos.....)

 

2.2) Qual é a probabilidade de, numa hora, entrarem pelo menos  2 clientes nesse estabelecimento? ( indique todos os cálculos)

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO :Poisson

 

7) Na ponte Vasco da Gama, o número de automóveis (em centenas) que a atravessam, por minuto, é uma variável aleatória que tem distribuição de Poisson com parâmetro igual a  3,2.

 

7.1) Determine o número médio de automóveis que atravessam a ponte Vasco da Gama por hora.

 

7.2) Qual é a probabilidade de que, em determinado minuto, a ponte Vasco da Gama seja atravessada por:

 

7.2.1) Nenhum automóvel?   7.2.2) Algum automóvel?    

 

7.2.3) 400 automóveis?

 

 

Resolução:

 

 

 

 

 

ASSUNTO: Valor médio,

variância, desvio padrão

Livro: TEXTO 11 páginas:  138

 

 

Valor médio (ou esperado)

 

E(X)= x1.p1 + x2.p2 + x3.p3  + ….

 

 

Variância 

Var = (x1-E(X))2×P+  (x2-E(X))2×P+  (x3-E(X))2×P3+…

 

 

Desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

 

 

EXEMPLO

4) A Ana tem 10 rifas, das quais  4 têm prémio. 

Tiramos sucessivamente e ao acaso 3 dessas rifas sem reposição. 

 

4.1) Determine a probabilidade de:

 

4.1.1) Serem duas premiadas

 

4.1.2) Serem as três premiadas   

 

4.2) Defina a função massa de probabilidade para a variável X:" número de rifas sem prémio, de entre as três escolhidas" e calcule a média e a variância apresentando todos os cálculos.

 

Resolução:

 

 

 

 

 

 

 

 

ASSUNTO:  Modelo Geométrico

Livro: TEXTO 11           páginas: 146

 

 

 

O modelo geométrico utiliza-se quando queremos saber qual a probabilidade de um determinado acontecimento se realize ao fim de k experiências.

 Isto significa que para haver um sucesso ao fim de k experiências, já houve k – 1 insucessos.

 

 

 

 

onde p é a probabilidade de ter sucesso, 1 – p é a probabilidade de ter insucesso, X é a variável aleatória associada à experiência e k o número da experiência onde ocorre o valor.

 

EXEMPLO

1.            Numa linha de montagem de monitores de computadores, a probabilidade de um monitor chegar ao fim da montagem com defeito é igual a 0.012. 

 Calcule a probabilidade de, em determinado dia, o primeiro monitor a chegar ao fim da linha de montagem com algum defeito ser o sexto.

 

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO

3)       Numa caixa estão 80 peças de vestuário. Sabemos que 37,5%  destas peças têm defeito. Foram retiradas sucessivamente várias peças, com reposição.

 

3.1)                    Qual é a probabilidade de a primeira peça a sair com defeito ser a sexta?

 

3.2)                    Em média, quantas peças esperamos tirar até que saia uma com defeito?

 

 

Resolução:

 

 

 

ASSUNTO:  Modelo  Binomial

Livro: TEXTO 11         páginas: 148

 

 

O modelo binomial é usado quando uma experiência aleatória tem as seguintes caraterísticas:

       é constituída por n provas (observações) que se realizam sempre nas mesmas condições;

       em cada prova apenas são possíveis dois resultados: o sucesso com probabilidade p e o insucesso com probabilidade 1 – p;

       o resultado de cada prova é independente dos resultado obtidos nas provas anteriores;

       a probabilidade de sucesso é constante, ou sejas, não varia de prova para prova

É dado pela seguinte fórmula:

 

 

O valor esperado e a variância são, respetivamente:

 

E(X)=n.p       Var(X)= n.p.(1-p)

 

 

,onde p é a probabilidade de ter sucesso, 1 – p é a probabilidade de ter insucesso, n é o número de provas, X é a variável aleatória associada à experiência e k o número de vezes que ocorre o sucesso.

  

 

EXEMPLO

3) Numa fábrica de confecções, estima-se que 2%  das peças saem com defeito. Analisou-se um lote constituído por oito peças. Qual é a probabilidade de, nesse lote

 

3.1) existirem 4 peças com defeito?

 

     3.2)haver mais do que uma peça com defeito?

 

Resolução:

 

 

 

ASSUNTO:  Modelo Uniforme

Livro: TEXTO 11           páginas: 151

 

 

 

O modelo uniforme está associado a variáveis aleatórias contínuas que se encontram uniformemente distribuídas num intervalo qualquer [a, b]. Isto é, se, por exemplo, considerarmos dois intervalos com a mesma amplitude, têm ambos a mesma probabilidade. 

 

Ainda no modelo uniforme, ao valor da área compreendida entre a função densidade de probabilidade e o eixo dos xx, num intervalo [c, d]   [a, b], corresponde à probabilidade associada aa esse intervalo, isto é:

EXEMPLO

5)                 Numa pastelaria, confeccionam-se bolos para uma festa. O tempo de cozedura dos bolos é uma variável aleatória, que varia uniformemente entre os 35 e os 65 minutos. 

 

5.1)                  Determine o tempo médio de cozedura de um bolo. 

 

5.2)                  Calcule a probabilidade de um bolo escolhido ao acaso, ter um tempo de cozedura: 

 

5.2.1)       superior a 45 minutos.

 

5.2.2)        entre 43 e 55 minutos. 

 

5.2.3)        Inferior a 60 minutos. 

 

Resolução:

 

 

 

 

 

ASSUNTO:   Modelo Exponencial

Livro: TEXTO 11           páginas: 154

 

 

 

O modelo exponencial Algumas situações onde se possa aplicar o modelo exponencial são, por exemplo, no cálculo do tempo entre chegadas numa fila de espera, tempo entre falhas de um dispositivo eletrónico, tempo entre cheadas de pedidos a um servidor de Internet, etc.

 

O valor da área compreendida entre esta f.d.p. e o eixo dos xx num intervalo [a, b] é igual a:

 

 

                       

 

 

EXEMPLO Modelo Exponencial

6)                 Num determinado consultório, o tempo de espera, em minutos, entre duas pessoas a serem atendidas é uma variável aleatória e pode ser representado por um modelo exponencial de valor médio igual a 24 minutos. 

 

6.1)                  Determine o parâmetro λ para a situação descrita. 

 

6.2)                  Calcule a probabilidade de que o tempo de espera entre duas pessoas seja: 

 

6.2.1)       Superior a 27 minutos.    

 

6.2.2) Superior a 20 mas inferior a 25 minutos. 

 

 

Resolução:

 

 

 

ASSUNTO:  Modelo Normal

Livro: TEXTO 11           páginas:  156

 

 

 

http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/EstatisticaBasica/figuras/distribuicaoNormal/normal.PNG

Sobre a curva que descreve este modelo, também chamada de curva de Gauss, podemos referir várias caraterísticas:

       tem a forma de sino;

       é simétrica relativamente à média, cujo valor representa o máximo da curva;

        é definida pela média e pelo desvio padrão;

       a área total sob a curva é igual a 1, ou seja, 100%.

        

O modelo normal associa à probabilidade de um determinado valor de uma variável pertencer a um intervalo [a, b], a área entre a curva normal e o eixo dos xx, entre a e b

 

 

O modelo normal é das mais importantes distribuições contínuas. Para estudarmos este modelo, precisamos de referir-nos a algumas caraterísticas para uma dada variável aleatória:

 

 

Regra dos 68, 95, 99.7

 

-              a percentagem de valores de uma variável aleatória contidos no intervalo  é de aproximadamente 68%.

-               

-              a percentagem de valores de uma variável aleatória contidos no intervalo  é de aproximadamente 95%.

-               

-              a percentagem de valores de uma variável aleatória contidos no intervalo é de aproximadamente 99,7%.

 

 

Nota: por vezes os valore são apresentados com mais casas decimais, nomeadamente:

                   P(  m- s < X < m+ s) » 68,27 %   

 

                   P(  m- 2s < X < m+ 2s) » 95,45 %

 

                   P(  m- 3s < X < m+ 3s) » 99,73%

 

 

Normal Standard/ Tabela

 

Para facilitar o uso do modelo, existe o chamado modelo normal standard, isto é, a média é 0 e o desvio padrão 1, logo N (0, 1). 

 

Seja X uma variável aleatória contínua, tal que X ~ N (

 

Então, a variável aleatória

 

é tal que

U ~ N (0, 1)

 

 

 

U ~ N(0, 1)

https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSeBW1cai6pF-X8HIVaWSQ9XDpbpQkwlUHW-RQ8LfgBIsiBIq8LSg

 

 

 

 

EXEMPLO

8) Numa turma com 28 alunos, o tempo que estes demoram a realizar um teste de MACS segue uma distribuição normal com média 80 e desvio padrão 5 minutos.

 

Usando a regra dos 68  - 95 - 99.7  , resolva as duas questões que se seguem.  Determine a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso ter demorado

 

8.1)  mais de 90 minutos.

 

8.2)  entre 75 e 90 minutos.  

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO

 

9) Use a tabela da normal para resolver a questão que se segue e apresente todas as justificações. Se apresentar apenas o resultado final, ou estiver mal justificado, a resposta será considerada errada

 Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de valor médio igual a 25 e desvio padrão 5.

 

Calcule a probabilidade de:

 

9.1) X < 14        9.2) X > 21     9.3) 16,2 < X < 18,8

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO

10) Use a tabela da normal para resolver a questão que se segue e apresente todas as justificações. Se apresentar apenas o resultado final, ou estiver mal justificado, a resposta será considerada errada.

 

O tempo que um operário demora a realizar uma determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio igual a 70 minutos e desvio padrão igual a 10 minutos. 

 

 Determine a probabilidade de o operário demorar, na realização da tarefa:

 

10.1) Menos de 68 minutos.

 

10.2) Mais de 93 minutos.

 

10.3) Entre 63 e 78 minutos.

 

Resolução: