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RESUMO MACS

6- Modelos Populacionais.

Testes

Questões de Exame

 

ASSUNTO:  Modelos Populacionais

Livro: TEXTO 11                páginas: 64

 

 

Nota1) Se tivermos, por exemplo, evoluções do dinheiro do tipo:

 

          500;  700;  900;  1100....   ....começa em 500 e vai aumentando 200,

 

 a expressão ou modelo matemático é do tipo:

 

                            C= 500 + 200x   

 

e pode ser visto como Modelo Linear ou como progressão aritmética ou

 

mesmo como juro simples.  Geometricamente o gráfico é uma linha reta.

 

 

 

 

Nota 2) Se tivermos, por exemplo, evoluções do dinheiro do tipo:

 

         500;    575;     661.25; .....    a diferença não é constante,

 

ou mas se fizermos os quocientes, temos:

 

 661.25/575 = 1.15

e

 

575/500= 1.15

 

o que indica que há um aumento de 15% de um ano para o outro...

 

a expressão ou modelo matemático é do tipo:

 

500×1.15x    

 

    e pode ser visto como Modelo Exponencial  ou como progressão Geométrica ou mesmo como juro composto

 

Geometricamente o gráfico é uma linha curva.

 

 

Outro exemplo: exponencial contínuo:

 

 

 Modelo de crescimento logístico. Exemplo:

 

 

Normalmente começa por ter um crescimento acentuado mas que depois estabiliza em torno de um valor.

 

 

 Modelo de crescimento logarítmico. Exemplo:

 

A(p)  =  0,57 In (p) - 0,52

 

 

Notas:

 "ln" significa logaritmo de base "e".

 

Na calculadora "log" refere-se ao logaritmo de base 10.

 

Se for necessário usar um logaritmo de outra base, fazermos a conversão

por exemplo, logarítmo de 8 na base 3, log38  para calcular, fazemos log8/log3  

que dá 1.89.  

 

EXEMPLO : Regressão linear                                      Página do livro:  69

5)  Na tabela seguinte registou-se a contagem mensal do número de animais de uma certa espécie, existente numa área reservada desde a sua criação:

 

Número de meses decorridos desde a criação da área reservada(x)

 

Número de animais existentes na área reservada(y)

 

 Com o auxílio da calculadora, determine o modelo de regressão linear y=ax+b, que se ajusta a estes valores. Apresente os valores de "a" e de "b" arredondados à milésimas.

 

De seguida, utilize a equação obtida para estimar quantos animais existiam ao fim de 19 meses.

 

 

0

220

2

224

4

228

6

232

8

235

10

240

12

246

14

252

16

258

18

263

20

270

 

 

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO : Crescimento linear .                                       Página do livro: 65

1) O aluguer de uma máquina "A"  custa 100  euros no primeiro dia, 120 euros no segundo dia, 140 euros no terceiro dia, 160 euros no quarto dia e 180 euros no quinto dia. A partir do sexto dia  será sempre 200 euros por dia.

 

O aluguer de uma outra máquina B custa 300 euros no primeiro dia e 150 euros em cada um dos restantes dias.

 

1.1) Indique o valor a pagar pelo aluguer de cada uma das máquinas, por uma duração de 

 

1.1.1) 3 dias              1.1.2) 5 dias              1.1.3) 10 dias  

 

1.2)Quanto pagará de aluguer em cada uma das máquinas no 5º dia? e no 10º dia?

 

1.3)Apresente uma expressão para o valor a pagar pelo aluguer da máquina B durante x dias.

 

1.4) Se tivesse 3 500 euros, durante quantos dias podia alugar a máquina A   e a máquina B? 

 

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO

2)   Uma empresa produziu 20 000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2003.

3)    

Sabemos que a produção  diminuiu 20% a cada trimestre. 

 

3.1)  Quantas unidades foram produzidas no ano de 2003?

3.2)   

3.3)  Quantas unidades foram produzidas no último  trimestre de 2006?

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO   Juro composto                                     página do livro : 70

4)   Imagine que deposita 5 000 euros num banco que lhe paga 4,8 % de juros anuais( juro composto).

Calcule quanto ganhará de juro ao fim de 1 ano supondo que o banco paga os juros:  

 

 3.1) anualmente    3.2) mensalmente       3.3) hora a hora.

 

 

Resolução:

 

 

 

 

EXEMPLO  Modelo Exponencial contínuo                   Pagina do livro : 74

 

4) Um Petroleiro encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Consequentemente, começou a derramar crude. Considere que t horas após o acidente, a área, em km2, de crude espalhado sobre o oceano é dada pela seguinte expressão:

4 .1 - Qual a área de crude ao fim de 5 horas? E ao fim de meio dia?

 

4.2 - Ao fim de quantas horas se atinge uma área de 80 km2de crude? Pode apresentar uma resposta  usando uma tabela ou um gráfico da calculadora. Explique como obteve.

 

4.3) Ao fim de quantas horas se atinge uma área de 100 km2de crude?    Resolva esta questão analiticamente, isto é indicando todos os cálculos.

Resolução:

 

 

EXEMPLO : Modelo Logístico                                            Página do livro:  78

6) Considere o modelo de crescimento de uma população de animais, dado pela expressão:

                                com t - tempo em semanas

6.1 - Quantos animais existiam inicialmente?

 

6.2 - Quantos animais existirão ao fim de 21 dias?

 

6.3 – Descreva a  evolução  desta população ao longo do tempo, recorrendo à calculadora  gráfica. Explique tomo procedeu para tirar tal conclusão.

 

Resolução:

 

 

 

EXEMPLO : modelo logarítmico                                                  Página do livro : 84

7) Suponha que a altura A (em metros) de uma pessoa do sexo masculino pode ser definida, em função do seu peso p (em quilogramas), pela seguinte expressão:

            A(p)  =  0,57 In (p) - 0,52

         Recorrendo à expressão, determine:

7.1- A altura do Rafael, sabendo que o seu peso é de 45 kg

7.2 - O peso do David, sabendo que tem 175 cm de altura. . Resolva esta questão  analiticamente, isto é indicando todos os cálculos.

 

Resolução: